Tìm điểm cố định của toán tử

Những phương pháp số nào có sẵn để tìm điểm cố định của toán tử đang hoạt động trên các hàm f : [ a , b ] → [ a , b ] ? Tôi đang tìm hàm f mà A f = f .$A$$f : [a,b] \rightarrow [a,b]$$f$$Af = f$

Chi tiết cần thiết:

Hàm của tôi thực sự là hàm mật độ xác suất của phân phối trên vòng tròn (tức là trên nội bộ định kỳ [ 0 , 2 π ) ). Điều này cũng có nghĩa rằng 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 cho bất kỳ x ∈ [ 0 , 2 π ) , mà làm cho vấn đề dễ dàng hơn. Giả sử chúng ta có hàm này được lấy mẫu với một số mật độ và chúng ta có thể tính toán tử A bằng số. Phân phối không nhất thiết phải liên tục, tức là nó có thể trông như thế này:$f$$[0,2\pi)$$0 \le f(x) \le 1$$x \in [0,2\pi)$$A$

Tôi đang tìm kiếm các phương pháp và đề xuất về cách làm điều này. Tôi sẽ cố gắng thực hiện điều này trong Mathematica trước.

Tất cả các chi tiết lộn xộn của vấn đề thực tế của tôi:

Đây là cách tôi thực sự tính toán tử : $A$

1. Tôi nhận phân phối mà tôi có với số lượng lớn các mẫu được rút ra từ đó
2. Tôi ước tính PDF và kết hợp nó với một hạt nhân "vuông" ("hình vuông" có nghĩa là nó tương tự như hình trên). Điều này mang lại cho tôi một chức năng khá trơn tru.
3. Tôi ngưỡng hàm để có được một hàm có giá trị nhị phân khác .$g:[a,b] \rightarrow {0,1}$
4. Từ hàm có giá trị nhị phân này, tôi tính toán một số lượng lớn các mẫu được rút ra từ phân phối một lần nữa

Tôi đã đề cập đến điều này bởi vì nó có nghĩa là thay vì làm việc với PFD, chúng ta cũng có thể làm việc với hàm trơn (sau khi tích chập) hoặc hàm có giá trị nhị phân. Thật ra tôi đã làm việc với hàm nhị phân có giá trị trong thực tế.

Tôi biết rằng các điểm cố định của các hàm thực đơn giản (không phải toán tử) có thể "thu hút" hoặc "đẩy lùi", tức là khi áp dụng hàm nhiều lần cho một số, nó sẽ hội tụ đến một điểm cố định hoặc bị đẩy lùi bởi nó. Tôi không biết loại điểm cố định của nhà điều hành của tôi là gì.

Tôi biết rằng toán tử của tôi luôn có phân phối đồng đều dưới dạng một điểm cố định, nhưng đôi khi (tùy thuộc vào tham số của tôi), nó có thể có một điểm khác. Đây là một cái khác tôi cần tìm.

Tôi đã thử áp dụng toán tử nhiều lần để xem điều gì xảy ra và đôi khi nó hội tụ đến điểm cố định mà tôi muốn. Nhưng ngay cả khi nó không hội tụ, một điểm cố định vẫn có thể tồn tại (hoặc nó chỉ có thể hội tụ đến điểm cố định đó nếu tôi sử dụng một điều kiện ban đầu khác). Vì vậy, tôi cần một phương pháp mạnh mẽ hơn.

Thậm chí nhiều chi tiết lộn xộn:

$[0,2\pi)$$[0,a)$$a$$a$$a$

Tại sao tôi lại đề cập đến chi tiết phức tạp (dường như quá cục bộ) này, điều đó không cần thiết cho câu hỏi? Bởi vì khi bạn đọc rằng phân phối nằm trong một khoảng thời gian định kỳ, bạn sẽ nhận thấy rằng nếu một phân phối là một điểm cố định, thì bất kỳ phép quay nào của phân phối đó trên khoảng đó cũng sẽ là một điểm cố định. Điều này có thể khiến bạn suy nghĩ nếu các lỗi số trong tính toán ứng dụng của toán tử đến điểm cố định sẽ khiến điểm cố định xuất hiện "xoay" nhẹ. Tôi có thể bù đắp cho điều này, vì vậy đây không phải là một vấn đề.

$f$$f$

$u(r)$$g(r)$$f$${\mathcal A}f = f$$u^{(k)}(r)$$u^{(k+1)}(r)$