Cơ học vững chắc với sự khác biệt hữu hạn: Làm thế nào để xử lý các nút góc góc Hay?

Tôi có một câu hỏi liên quan đến điều kiện biên mã hóa cho cơ học rắn (độ co giãn tuyến tính). Trong trường hợp đặc biệt tôi phải sử dụng sự khác biệt hữu hạn (3D). Tôi rất mới với chủ đề này, vì vậy có lẽ một số câu hỏi sau đây có thể rất cơ bản.

Để dẫn đến vấn đề cụ thể của tôi, trước hết tôi muốn trình bày những gì tôi đã thực hiện (Để giữ cho nó rõ ràng, tôi sẽ chỉ sử dụng 2D).

1.) Tôi có rời rạc sau $div(\sigma) = 0$ , cho thấy thành phần đầu tiên của sự phân kỳ $\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

Tôi sử dụng lưới không được đặt so le, vì vậy Ux và Uy được xác định tại cùng một vị trí.

2.) Bước tiếp theo là xử lý các ranh giới, nơi tôi sử dụng "các nút ma". Theo $\sigma \bullet n = t^*$ , nơi $t^*$ là sự căng thẳng trên ranh giới.

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Tôi nghĩ cho đến bây giờ tất cả các bước của tôi dường như là logic, nếu không, xin vui lòng sửa cho tôi . Nhưng bây giờ cũng có các "nút góc", nơi tôi không biết cách xử lý chúng.

$div(\sigma) = 0$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là cách chính xác để xử lý các "nút góc" là gì? Tôi hạnh phúc cho mọi ý tưởng.

Tôi đã có vấn đề tương tự với các điều kiện biên góc, đặc biệt là trong việc giải quyết các vấn đề tấm kết cấu với áp suất ngang được áp dụng đồng đều. Đặc biệt nếu một người đang cố gắng để có được tải Shear trên các cạnh (bao gồm cả các góc). Tải trọng cắt là một hàm của ∂ ^ 3 w / ^ 2 x∂y. Sử dụng sơ đồ khác biệt trung tâm, điều này khiến người ta cần nút "ma" chéo với nút góc để xác định đạo hàm này. Tôi không tin rằng tính trung bình dựa trên các nút liền kề là phù hợp. Những gì tôi đã làm là sử dụng mômen xoắn Mxy mà tôi đã tính toán tại nút góc và đánh đồng nó với "phân tử" khác biệt hữu hạn cho mô men xoắn như là một hàm của các chuyển vị. Vì tôi đã biết các chuyển vị của tất cả các nút lân cận khác (dựa trên các điều kiện biên dọc theo các cạnh của tấm), nên việc giải quyết cho nút góc "khó khăn" này là một vấn đề đơn giản. Tôi hy vọng điều này sẽ giúp.

Bạn có thể đang cố gắng giải một hệ phương trình không có nghiệm duy nhất. Hãy tưởng tượng bạn có một loạt các nút được kết nối bởi các lò xo, trôi nổi trong không gian và bạn muốn tìm vị trí cân bằng của mỗi nút. Nếu hệ thống không được neo vào một cái gì đó cố định (hoặc không có lực nào được áp dụng), có nhiều giải pháp khả thi. Bất kỳ một giải pháp nào cũng có thể được dịch hoặc xoay và nó vẫn là một giải pháp. Bạn đã thử sửa các chuyển vị ở một nút góc để loại bỏ dịch và sửa một chuyển vị ở một góc khác để loại bỏ các phép quay chưa?

Tôi đã từng thử phương pháp này để sửa một số nút và điều chỉnh lực bình thường ở các nút khác, nhưng dường như nó tập trung một lượng lớn lực vào các nút biên riêng lẻ, dẫn đến mất ổn định. Điều cuối cùng làm việc là không cố gắng neo chỉ một vài nút, mà là neo tất cả các nút liên quan đến một chủng đồng nhất. Về cơ bản, bạn làm căng toàn bộ hệ thống một cách đồng nhất, nhưng sau đó bao gồm thành phần đồng nhất trong định nghĩa biến dạng cục bộ tại mỗi nút, do đó nó không đóng góp thêm năng lượng đàn hồi nào. Bạn có thể đọc thêm về nó trong bài viết này và các tài liệu tham khảo được trích dẫn: http://pub.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Vấn đề không ổn định này có lẽ là một lý do tốt để chọn các yếu tố hữu hạn cho các vấn đề cơ học khi có thể.