Tính toán loạt dao động nhẹ để độ chính xác cao?

Giả sử tôi có hàm thú vị sau: Nó có một số tính chất khó chịu, như đạo hàm của nó không liên tục ở bội số hợp lý của . Tôi nghi ngờ một hình thức đóng không tồn tại.

f (x) = = \underset{k \geq 1}{Σ} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

Tôi có thể tính toán nó bằng cách tính tổng một phần và sử dụng phép ngoại suy Richardson, nhưng vấn đề là quá chậm để tính hàm với một số chữ số thập phân tốt (ví dụ 100 sẽ tốt).

Có một phương pháp có thể xử lý chức năng này tốt hơn?

Đây là một âm mưu của với một số tạo tác: $f'(\pi x)$

$Đạo hàm của hàm, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— Kirill
nguồn

Có lẽ bạn có thể sử dụng thực tế là

, trong đó

là một đa thức Ch Quashev. Sau đó, tổng kết bắt đầu trông giống như một loạt các đa thức hợp lý. Sau đó, nếu bạn có thể biến chuỗi thành đa thức hợp lý trên cơ sở Ch Quashev, nó sẽ cho phép một cách rất hiệu quả để tổng hợp nó. Nếu bạn không quen thuộc với đa thức và cơ sở của Ch Quashev , Công thức toán số trong C có một mồi tốt, cũng như thế này: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6ch chương.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

er, nên nói

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— Jay Lemmon

@JayLemmon Cảm ơn bạn đã liên kết. Tôi sẽ có một cái nhìn và xem nếu nó giúp.

— Kirill

Tôi đang tham gia bữa tiệc này hơi muộn, nhưng có bạn đã cố gắng sử dụng approximants Pade, tức là

-Algorithm thay vì Richardson ngoại suy?

ε

$\varepsilon$

— Pedro

Tương tự như trường hợp tích hợp dao động cao, tôi không nghĩ bạn sẽ có thể làm tốt công việc mà không cần biết một chút về sự tách biệt giữa các phần dao động và không phụ trợ. Nếu bạn có một sự tách biệt như vậy, câu trả lời chuỗi Fourier cung cấp cho bạn sự hội tụ theo cấp số nhân dễ dàng.

— Geoffrey Irving

Câu trả lời:

Nếu các kỹ thuật phân tích không được phép nhưng cấu trúc định kỳ được biết đến, đây là một cách tiếp cận. Đặt là định kỳ với chu kỳ, sao cho trong đó

g (x) = = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = = \underset{j}{Σ} w_{j} e^{Tôi j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

Do đó,

w_{j} = = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- Tôi j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

Bạn có thể có thể xấp xỉ tích phân

trực tiếp hoặc tính toán một loạt các

giá trị và sử dụng một DFT. Trong cả hai trường hợp, bạn có khả năng có thể áp dụng phép ngoại suy Richardson cho kết quả. Vì trong trường hợp của bạn,

là phân tích trong một vùng lân cận của

, chuỗi cuối cùng hội tụ theo cấp số nhân ngay cả khi không có Richardson.

\begin{aligned} f (x) & = = \underset{k \geq 1}{Σ} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = = \underset{k \geq 1}{Σ} \frac{1}{k^{p}} \underset{j}{Σ} w_{j} e^{Tôi j k x} \\ = = \underset{j}{Σ} w_{j} \underset{k \geq 1}{Σ} \frac{{(e^{Tôi j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = = \underset{j}{Σ} w_{j} {Li}_{p} (e^{Tôi j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— Geoffrey Irving
nguồn

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = = \underset{k \geq 1}{Σ} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = = Σ_{k = = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \underset{n \geq 0}{Σ} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = = Σ_{k = = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ Giá trị và dẫn xuất cho loạt

— Geoffrey Irving
nguồn

Cảm ơn bạn. Vấn đề là tôi đã chọn chức năng cụ thể này làm mô hình cho một chức năng phức tạp khác mà tôi thực sự muốn đánh giá, có các tính năng tương tự, nhưng thực tế không giống nhau. Tôi biết về hình thức đóng từ câu hỏi này trên MSE . Tôi có nghĩa đây là một câu hỏi về tổng kết một chuỗi vô hạn số mà không có dạng đóng.

— Kirill

Có lẽ câu trả lời khác của tôi là tốt hơn sau đó?

— Geoffrey Irving

Làm thế nào về biến đổi Levin u ? Ngoài mã Fortan, có một số phiên bản trong GSL : `gsl_sum_levin_u * ' . MuPAD và Maple của Matlab sử dụng sơ đồ này.

— tử vi
nguồn

Tôi đã thử nó, nhưng tôi thấy phép ngoại suy của Richardson chính xác hơn.

— Kirill