Phát sinh biến đổi Fourier của cosin và sin

Trong câu trả lời này , Jim Clay viết:

... sử dụng thực tế là ...$\mathcal F\{\cos(x)\} = \frac{\delta(w - 1) + \delta(w + 1)}{2}$

Biểu thức trên không quá khác biệt với .$\mathcal F\{{\cos(2\pi f_0t)\}=\frac{1}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))}$

Tôi đã cố gắng thu được biểu thức sau bằng cách sử dụng định nghĩa chuẩn của biến đổi Fourier nhưng tất cả những gì tôi kết thúc là một biểu hiện rất khác với câu trả lời rõ ràng.$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$

Đây là công việc của tôi:

$$\begin{align} x(t)&=\cos(2\pi f_0t)\\ \Longrightarrow \mathcal F\left\{x(t)\right\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(2\pi f_0t)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac 12 \left(e^{-j2\pi f_0t}+e^{j2\pi f_0t}\right)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}+e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t\left(f_0+f\right)}+e^{-j2\pi t\left(f-f_0\right)}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f_0+f)}\right)dt+\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f-f_0)}\right)\right) dt \end{align}$$

Đây là nơi tôi bị mắc kẹt.

Công việc của bạn là OK trừ những vấn đề mà các biến đổi Fourier của không tồn tại theo nghĩa thông thường của một chức năng của , và chúng ta phải mở rộng khái niệm để bao gồm gọi là phân phối là gì, hoặc xung động, hoặc Dirac deltas, hoặc (như chúng tôi các kỹ sư sẽ không làm, nhiều đến sự ghê tởm của các nhà toán học) các hàm delta . Đọc về các điều kiện phải được thỏa mãn để biến đổi Fourier của tín hiệu tồn tại (theo nghĩa thông thường) và bạn sẽ thấy rằng không có một biến đổi Fourier theo nghĩa thông thường.$\cos(2\pi f_0 t)$$f$$X(f)$$x(t)$$\cos(2\pi f_0 t)$

Chuyển sang câu hỏi cụ thể của bạn, một khi bạn hiểu rằng các xung chỉ được định nghĩa theo cách chúng hoạt động như các tích phân trong một tích phân, nghĩa là đối với , với điều kiện liên tục tại , thì việc suy ra biến đổi Fourier của sẽ dễ dàng hơn bằng cách tập trung vào thực tế là và do đó phải là là nghịch đảo Biến đổi Fourier của$a < x_0 < b$

$$\int_{a}^{b} \delta(x-x_0)g(x)\,\mathrm dx = g(x_0)$$ $g(x)$$x_0$ $$\cos(2\pi f_0 t) = \left.\left.\frac{1}{2}\right[e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}\right]$$ $$\int_{-\infty}^\infty \delta(f-f_0)e^{j2\pi ft}\,\mathrm df = e^{j2\pi f_0t}$$ $\cos(2\pi f_0 t)$$\displaystyle \left.\left.\frac{1}{2}\right[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right]$ .

Sau đó, chỉ cần sử dụng bảng các cặp biến đổi Fourier để thấy rằng và thay thế biến ( và ), để có được những gì bạn cần.$\delta(t) \leftrightarrow 1$$f_1 = f+f_0$$f_2 = f-f_0$