Làm cách nào để tìm phản hồi xung của hệ thống từ sự lặp lại không gian trạng thái của nó bằng ma trận chuyển trạng thái?

Giả sử chúng ta có một tuyến tính được biểu diễn trong ký hiệu không gian trạng thái tiêu chuẩn:

\dot{x} (t) = = Một x (t) + B bạn (t)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

y (t) = = C x (t) + D bạn (t)

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

Để có được phản ứng thúc đẩy của nó, có thể lấy biến đổi Laplace của nó để có được

S X = = Một X + B Bạn

$sX=AX+BU$

Y = = C X + D Bạn

$Y=CX+DU$

và sau đó giải quyết cho hàm truyền

\frac{Y}{Bạn} = = C (S Tôi - Một)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

Tương tự, đối với một hệ thống rời rạc, -transform của $\mathcal{Z}$

x [n + 1] = = Một x [n] + B bạn [n]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

y [n] = = C x [n] + D bạn [n]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

Là

\frac{Y}{Bạn} = = C (z Tôi - Một)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

Quá trình này có vẻ hơi dài và tôi nhớ rằng có một cách để tìm đáp ứng xung bằng ma trận chuyển trạng thái là giải pháp cho phương trình đầu tiên của mỗi cặp. Có ai biết cách để làm điều này không? $x$

impulse-response state-space linear-systems

— Phonon
nguồn

Bạn có thể tiếp cận vấn đề bằng cách sử dụng ma trận chuyển trạng thái bằng cách giải ODE không đồng nhất tiêu chuẩn trong phương trình đầu tiên. Giải pháp cho là $\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

x (t) = = x_{0} e^{Một t} + \int_{0}^{t} e^{Một (t - t^{'})} B bạn (t^{'}) d t^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

trong đó . Đại lượng được gọi là ma trận chuyển tiếp trạng thái (cũng là giải pháp cho ODE đồng nhất), mà tôi sẽ gọi là (Tôi không nhớ ký hiệu chuẩn cho điều này). Lấy , phương trình của trở thành $x_0=x(0)$ $e^{At}$ $\Xi(t)$ $x_0=0$ $y(t)$

y (t) = = C \int_{0}^{t} Ξ (t - t^{'}) B bạn (t^{'}) d t^{'} + D bạn (t)

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

Phương trình trên cung cấp cho bạn đầu ra khi đầu vào được kết hợp với đáp ứng xung của hệ thống và thực tế, bạn có thể lấy biến đổi Laplace của phương trình trên để xác minh. Lưu ý rằng biến đổi Laplace của là và các kết quả trong miền thời gian trở thành sản phẩm trong miền s, chúng tôi nhận được $\Xi(t)=e^{At}$ $(sI-A)^{-1}$

Y = = C (S Tôi - Một)^{- 1} B Bạn + D Bạn

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

cung cấp cho bạn chức năng chuyển giống như trong câu hỏi của bạn.

Về nhận xét của bạn về cách tiếp cận biến đổi Laplace hoàn toàn dài, tôi không nhất thiết phải nói nó là như vậy. Tuy nhiên, cách tiếp cận ma trận chuyển tiếp trạng thái có thể đơn giản hơn để thực hiện , bởi vì một số thao tác liên quan đến nó có thể được tính toán với các phép nhân ma trận đơn giản và không có gì hơn.

— Lorem
nguồn

Mô tả rất hay.

— Jason R