Các biểu diễn không gian trạng thái khác nhau cho bộ lọc tự động hồi quy và bộ lọc Kalman

Tôi thấy rằng có nhiều cách khác nhau để viết mô hình AR thành biểu diễn không gian trạng thái, để chúng ta có thể áp dụng bộ lọc Kalman để ước tính tín hiệu. Xem ví dụ 1, 2 và 3 tại đây .

Tôi tự hỏi sự khác biệt nào giữa các biểu diễn không gian trạng thái khác nhau trên ước tính của bộ lọc Kalman?

Cảm ơn!

Rất tiếc, tôi không biết nhiều về bộ lọc Kalman, nhưng tôi nghĩ tôi có thể giúp bạn giải quyết vấn đề không gian nhà nước.

Trong ví dụ 1, mô hình AR chính xác là định nghĩa đệ quy DSP cũ của bạn:

$$y_t = \alpha + \phi_1y_{t-1} + \phi_2y_{t-2} + \eta_t$$

Trong trường hợp này, chúng tôi viết mô hình không gian trạng thái với sự tương ứng trực tiếp với phương trình trên:

$$\begin{pmatrix}y_t \\ y_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Lưu ý rằng trong trường hợp này, các trạng thái của hệ thống là giá trị hiện tại và trước đó của đầu ra.

Trong ví dụ thứ hai, bạn đang tách trạng thái khỏi các giá trị đầu ra. Điều này có nghĩa là các trạng thái bây giờ có thể là bất cứ thứ gì, mặc dù chúng vẫn trực tiếp ánh xạ lên các giá trị đầu ra. Bằng cách này, chúng tôi nhận được$c$

$$y_t = \mu + c_t$$

$$c_t = \phi_1c_{t-1} + \phi_2c_{t-2} + \eta_t$$

Và do đó

$$\begin{pmatrix}c_t \\ c_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{t-1} \\ c_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Bạn cũng nên nhận ra đây là biểu diễn không gian trạng thái tiêu chuẩn của một hệ tuyến tính, bởi vì các phương trình cho sự tiến hóa trạng thái và đầu ra phụ thuộc trạng thái là hai phương trình khác nhau . Sự tách biệt này là tầm thường trong trường hợp mô hình AR, nhưng ký hiệu sau này là cách chúng ta nghĩ về tất cả các mô hình không gian trạng thái tuyến tính nói chung.

Ví dụ thứ ba là một điều tò mò. Nếu bạn nhân ra tất cả các hệ số, bạn sẽ nhận ra rằng nó thực sự tương đương với các ví dụ thứ nhất và thứ hai. Vậy tại sao làm điều đó? Tôi chỉ ra rằng ví dụ 2 (là đại diện không gian trạng thái thích hợp của hệ thống) được gọi là Mẫu Canonical Controlable của hệ thống này. Nếu bạn đọc hoặc phân tích hệ thống một cách cẩn thận, bạn sẽ nhận ra rằng chúng ta có thể đưa hệ thống này vào bất kỳ trạng thái nào chúng ta muốn cung cấp các giá trị ứng xử tốt cho và với một đầu vào . Do đó, chúng tôi gọi các hệ thống như vậy có thể kiểm soát được và rất dễ thấy từ dạng phương trình không gian trạng thái này.ϕ 2$\phi_1$$\phi_2$$\alpha$

Bạn nên chú ý rằng hai hệ thống tuyến tính có thể giống hệt nhau cho đến khi thay đổi cơ sở. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể chọn một cơ sở khác để biểu diễn cùng một hệ thống tuyến tính. Bạn có thể thuyết phục bản thân rằng đó chính xác là những gì chúng tôi đã làm để đi từ ví dụ thứ hai đến thứ ba. Đặc biệt, chúng tôi thích phép chuyển đổi tuyến tính này để hoán chuyển ma trận chuyển trạng thái, do đó chúng tôi sẽ nhận được một số trạng thái không xác định$\boldsymbol{s}$

$$y_t = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \boldsymbol{\alpha_t}$$

$$\boldsymbol{\alpha_t} = \begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{t-1} \\ s_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng thay đổi cơ sở để tìm hiểu trạng thái này có liên quan gì đến trạng thái . Và chúng ta có thể tính toán được$\boldsymbol{s}$$\boldsymbol{y}$

$$\begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_t \\ \phi_2 y_{t-1}\end{pmatrix}$$

Biểu mẫu này (chuyển đổi dạng Canonical Formable) được gọi là Dạng Canonical có thể quan sát được vì nếu chúng ta có thể đặt một hệ thống ở dạng này, chúng ta có thể dễ dàng suy ra trạng thái nào của hệ thống có thể được quan sát bằng cách chỉ cần nhìn vào đầu ra. Đối với một số mô tả về các hình thức kinh điển, bạn có thể đọc tài liệu này , và tất nhiên nhìn xung quanh trên web. Lưu ý rằng trong tài liệu, các trạng thái được lộn ngược, không thay đổi bất cứ điều gì về biểu diễn hệ thống, chỉ đơn giản là sắp xếp lại các hàng / cột của ma trận.

Nói tóm lại, tất cả phụ thuộc vào những gì bạn đang cố ước tính, tức là những gì bạn biết về tín hiệu và những gì bạn không biết. Bộ lọc Kalman sẽ cố gắng ước tính trạng thái dựa trên định nghĩa của bạn về trạng thái đó là gì. Vấn đề thông thường là khi chúng ta cố gắng ước tính các hệ số AR.

Hãy lấy một ví dụ về mô hình không có thuật ngữ không đổi .$AR(2)$$\mu$

$$y_k = a_1y_{k-1} + a_2y_{k-2} + \eta_k$$

Để ước tính hệ thống ở trên, tất cả các bạn cần làm là ước lượng các hệ số AR, và .$a_1$$a_2$

Thiết lập không gian trạng thái chung của bộ lọc Kalman:

y k = H k x k + v

$${\bf x}_{k} = {\bf F}_{k-1}{\bf x}_{k-1} + {\bf w}_k$$ $${\bf y}_{k} = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + {\bf v}_k$$ ${\bf w}_k= WGN(0, Q^s)$ và${\bf v}_k= WGN(0, Q^o)$

Trong trường hợp này, chúng ta cần phải ước tính và . Vì vậy, việc đặt trạng thái là các hệ số này là điều tự nhiên. Trong ví dụ này, các hệ số của tthese là hằng số ( ) và không có nhiễu trong các hệ số này -> .$a_1$$a_2$${\bf x}_k = [a_1, a_2]^T$${\bf F}_{k} ={\bf F}_{k-1} = {\bf I}$${\bf w}_k = {\bf 0} \implies Q^s = {\bf 0}$

Vì tất cả những gì chúng tôi quan sát là , chúng trở thành các phép đo cho hệ thống của chúng tôi. Vì chúng ta đã xác định vectơ trạng thái là gì, để các phương trình đo của chúng ta bằng với mô hình AR đã cho, chúng ta thay thế nhiễu đo lường bằng và .$y_k$${\bf v}_k$$\eta_k$${\bf H}_{k} = [y_{k-1}, y_{k-2}]$

$${\bf x}_{k} = {\bf x}_{k-1} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$$ $$y_k = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + \eta_k = \begin{bmatrix} y_{k-1} & y_{k-2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \eta_k$$

Bây giờ, bạn có thể sử dụng bộ lọc Kalman để ước tính trạng thái của mình và do đó tín hiệu của bạn.

Lưu ý: Điều kỳ lạ duy nhất ở đây là ma trận của bạn phụ thuộc vào số đo của bạn . Một số người có quan niệm sai lầm rằng Kalman Gains và State Hiệp phương sai luôn luôn đo lường độc lập và chúng có thể được tính toán trước. Trường hợp này rõ ràng cho thấy rằng đây không phải là trường hợp. Cả Kalman Gain và Ma trận hiệp phương sai được ước tính với các hàm của , trong trường hợp này là phụ thuộc vào phép đo.y k H${\bf H}_k$$y_k$${\bf H}_k$