Cực và số không là gì?

Khái niệm về cực và số không trong các bộ lọc đã được giới thiệu cho tôi trong phòng thí nghiệm của chúng tôi (phòng thí nghiệm của chúng tôi không đồng bộ với bài giảng của chúng tôi) thông qua việc tạo ra các bộ lọc cực âm trong MATLAB. Tôi đã không nhận được tầm quan trọng của nó cho đến khi nó được đề cập trong bài giảng của chúng tôi rằng các cực làm cho phương trình vô cực (hoặc mẫu số của nó bằng 0) trong khi các số 0 làm cho các gốc trong tử số bằng không. Tôi vẫn không thể nắm bắt được cực và số không là gì. Ai đó có thể đưa ra một lời giải thích trực quan và đơn giản về các cực và số không là gì? Nhiều đánh giá cao.

Lấy phương trình b / (xc) với b khác không. Tỷ lệ đi đến vô cùng khi x tiếp cận c. Vậy c là vị trí của một cực (một cái gì đó cao và nhọn trong đồ thị).

Lấy phương trình (xb) / c với c khác không. Tỷ lệ về 0 khi x càng gần b. Vì vậy, b là vị trí của một cái gì đó thường được gọi là "số không".

Bạn không chỉ có thể làm điều này với vô hướng x, mà với x phức, do đó miền của các cực và số không sẽ nằm trên một mặt phẳng (phức tạp) thay vì trên một đường thẳng.

Nếu tỷ lệ đại diện cho điều gì đó về phản hồi của bộ lọc, thì có thể nói đầu ra của bộ lọc ở mức hoặc gần bằng 0 khi đầu vào ở hoặc gần một phản hồi "không". Và những điều tồi tệ có thể bắt đầu xảy ra khi x tiến gần đến cực (nguồn cung cấp bắt đầu hút thuốc khi được yêu cầu cung cấp ampe vô hạn, các phép toán tạo ra NaN hoặc tràn điểm cố định, v.v.)

Để thêm vào các câu trả lời hay khác, tôi thấy đồ họa sau đây hữu ích trong việc đạt được sự hiểu biết trực quan tốt hơn, cụ thể hơn là các cực và số không của các hàm truyền.

(CẬP NHẬT: Tôi cũng vừa xem qua bài đăng tương tự khác này bởi @Endolith rất hay: Làm thế nào các cực có liên quan đến đáp ứng tần số )

Dưới đây là chức năng chuyển của bộ lọc thông thấp có hai cực trong mặt phẳng nửa bên trái, được đưa ra bởi biến đổi Laplace của đáp ứng xung của bộ lọc. Đây là một hệ thống tương tự nhưng các mô tả tương đương có thể được thực hiện cho các hệ thống kỹ thuật số trong miền z thay vì miền s.

Biểu đồ bên trái là sơ đồ điển hình mà chúng ta thấy khi được giới thiệu cho các cực và số không hiển thị vị trí của chúng trên mặt phẳng s, lưu ý rằng một cực là giá trị của s làm cho phương trình X (s) đi đến vô cùng trong khi số 0 là giá trị của s làm cho phương trình X (s) về không. Vì vậy, có, hệ thống cụ thể này cũng có hai số không ở vô cực vì các giá trị đó cho s làm cho phương trình về không.

Bên phải là một đồ thị 3D hiển thị độ lớn của X (s) cho tất cả các giá trị của s trên mặt phẳng phức. Điều đáng quan tâm là đây là âm mưu duy nhất có được từ tỷ lệ đa thức như vậy, do đó chúng tôi hoàn toàn mô tả nó đơn giản từ các vị trí cực và không! Vì vậy, mọi điểm trên bề mặt này được truyền đạt trong trường hợp này chỉ đơn giản là từ hai vị trí cực đã cho.

Đáng chú ý là chúng ta thường quan tâm đến Đáp ứng Tần số của bộ lọc hoặc hệ thống. s là đầu vào mà trên mặt phẳng phức được phép có các thành phần thực và ảo. Cụ thể khi s là một chỉ có giá trị tưởng tượng không đổi, chúng tôi đang mô tả một tần số không đổi. Do đó, một lát dọc theo$j\omega$ trục trong biểu đồ 3D hiển thị tất cả các cường độ sẽ hiển thị đáp ứng cường độ của bộ lọc, như được mô tả ở góc trên bên phải của biểu đồ trên (tương đương với cường độ của Biến đổi Fourier của phản ứng xung của bộ lọc).

Thứ không được hiển thị trong đồ họa 3D ở trên là "Vùng hội tụ" hiển thị tất cả các giá trị của s trong đó Biến đổi Laplace hội tụ đến một giá trị hữu hạn tùy thuộc vào việc hệ thống là nguyên nhân hay chống nguyên nhân.

Hàm truyền của mạng (hộp đen) nói chung là hàm hữu tỷ với tử số và đa thức mẫu số. Theo định lý cơ bản của đại số Gauss, một đa thức cũng có thể được viết như là tích của các số 0 đa thức. Các số 0 của đa thức mẫu số do đó tạo ra các cực của hàm truyền (1 / zero = vô cực -> cực). Các số 0 của đa thức tử số là các số 0 của hàm truyền.

Xem thêm: http : //www.rfcản.com/poles-and-zeroes

Đầu tiên, bạn sẽ thấy mặt phẳng z là một tập hợp các tín hiệu hàm mũ phức tạp. Nếu$z = z_0$, sau đó tín hiệu rời rạc tương ứng $Re(z^n) = Re(z_0^0),\ Re(z_0^1),\ Re(z_0^2),\ ...$. Nếu$|z_0|<1$, đó là một tín hiệu phân rã.

Thứ hai, các cực và các số không được sử dụng để mô tả một hệ thống IIR, tức là một hệ thống có phản hồi.

Số không dễ dàng: nếu hệ thống có số 0 tại $z_0$, điều đó có nghĩa là tín hiệu được xác định bởi $z_0$trên mặt phẳng z sẽ đi qua một vòng phản hồi và tổng hợp với chính nó lệch pha hoàn toàn dẫn đến đầu ra bằng không. Ba Lan phức tạp hơn một chút: nếu hệ thống có cực$z_0$, điều đó có nghĩa là một hệ thống sẽ tạo ra tín hiệu này hơn là nó bị nhiễu và di chuyển tự do. Rõ ràng nếu hệ thống có một cực để tăng tín hiệu ($|z_0|>1$), nó không ổn định. Khi thiết kế bộ lọc, các số 0 phải được đặt để triệt tiêu các tần số không mong muốn. Ba Lan được đặt sao cho

• họ hủy bỏ ảnh hưởng của số không đối với các tần số được truyền
• bộ lọc vẫn ổn định