Sự khác nhau giữa lọc và hồi quy đa thức làm mịn?

Sự khác biệt giữa lọc thông thấp cổ điển (với IIR hoặc FIR) và "làm mịn" bằng hồi quy đa thức bậc N cục bộ và / hoặc nội suy (trong trường hợp ghép mẫu), cụ thể trong trường hợp N lớn hơn 1 nhưng ít hơn số điểm cục bộ được sử dụng trong hồi quy phù hợp.

Cả lọc thông thấp và làm mịn hồi quy đa thức có thể được xem là xấp xỉ của hàm. Tuy nhiên, phương tiện để làm điều này là khác nhau. Câu hỏi quan trọng để hỏi ở đây là "Bạn có thể làm cái này theo cách khác không?" và câu trả lời ngắn gọn là "không phải lúc nào", vì những lý do được giải thích dưới đây.

Khi làm mịn bằng cách lọc các hoạt động quan trọng là chập nơi , mà trong lĩnh vực tần số dịch để y = F - 1 ( F ( x ) F ( h ) ) nơi F biểu thị Biến đổi Fourier rời rạc (và F - 1 nghịch đảo). Biến đổi Fourier rời rạc (ví dụ F ( x ) ) cung cấp xấp xỉ $y(n)=x(n)*h(n)$$y=F^{-1}(F(x)F(h))$$F$$F^{-1}$$F(x)$$x$như một tổng của các hàm lượng giác. Khi là bộ lọc thông thấp, một số lượng nhỏ hơn các thành phần tần số thấp được giữ lại và các thay đổi đột ngột trong x được làm mịn. Điều này đặt bộ lọc thông thấp trong bối cảnh xấp xỉ hàm bằng cách sử dụng các hàm lượng giác làm các hàm cơ bản , nhưng đáng để xem lại công thức tích chập cần lưu ý rằng khi lọc, y (n) (đầu ra của bộ lọc) phụ thuộc vào x ( n ) cũng như tổng trọng số của các mẫu quá khứ của x (trọng số ở đây được xác định bởi "hình dạng" của h ). (tất nhiên các cân nhắc tương tự giữ cho các bộ lọc IIR với việc bổ sung các giá trị trong quá khứ của y $h$$x$$x(n)$$x$$h$ cũng vậy$y(n)$

Khi làm mịn bằng một số đa thức bậc n , đầu ra của phép nội suy chỉ phụ thuộc vào và hỗn hợp các hàm cơ bản (khác nhau) (còn gọi là đơn thức ). Những chức năng cơ bản khác nhau là gì? Đó là một hằng số ( a 0 x 0 ), một dòng ( a 1 x ), parabola ( a 2 x 2 ), v.v. (vui lòng tham khảo điều này để có một minh họa đẹp). Thông thường, mặc dù, khi xử lý các mẫu tương đương trong thời gian và vì lý do chính xác, những gì được sử dụng là dạng đa thức của Newton$x(n)$$a_0x^0$$a_1x$$a_2x^2$. Lý do tôi trích dẫn điều này là bởi vì thông qua đó, dễ dàng nhận thấy rằng khi thực hiện phép nội suy tuyến tính, bạn có thể xây dựng một hạt nhân bộ lọc trả về tổng các mẫu có sẵn có trọng số tuyến tính, giống như đa thức nội suy bậc thấp sẽ sử dụng "dòng" để nội suy giữa hai mẫu. Nhưng ở mức độ cao hơn, hai phương pháp gần đúng sẽ trả về kết quả khác nhau (do sự khác biệt trong các hàm cơ bản).

Như tôi đã viết ở trên, không tính đến các giá trị trong quá khứ của là không nghiêm ngặt. Đây là một điểm tinh tế. Bởi vì thông thường, khi xây dựng đa thức, các giá trị nằm ngoài khoảng đã cho ("quá khứ" và "tương lai" của tín hiệu) không được xem xét. Tuy nhiên, có thể bao gồm những điều này bằng cách sửa các đạo hàm ở các cạnh của khoảng. Và nếu điều này được thực hiện lặp đi lặp lại (như cửa sổ trượt không chồng chéo) thì "các mẫu quá khứ" của x (n) sẽ được tính đến. (Đây là mẹo mà spline sử dụng và trên thực tế có một biểu thức tích chập cho phép nội suy hai chiều . Tuy nhiên, xin lưu ý ở đây rằng cách giải thích của x là khác nhau khi nói về spline$x(n)$$x$ -biết quan điểm về bình thường hóa-)

Lý do cho việc sử dụng bộ lọc như nội suy một số lần, ví dụ, trong trường hợp "Nội suy chân thành", là bởi vì nó cũng có ý nghĩa từ quan điểm vật lý. Đại diện lý tưởng hóa của một hệ thống giới hạn băng tần (ví dụ: bộ khuếch đại (tuyến tính) hoặc ống kính trong hệ thống quang học ) trong miền thời gian là xung chân. Biểu diễn miền tần số của xung chân là "xung" hình chữ nhật. Do đó, với rất ít giả định, chúng tôi hy vọng một giá trị còn thiếu sẽ ít nhiều ở gần các nước láng giềng (tất nhiên, trong giới hạn). Nếu điều này được thực hiện với một số đa thức bậc n (đối với n cao hơn) thì theo cách chúng ta "sửa" cách mà một giá trị bị thiếu có liên quan đến các lân cận của nó, điều này có thể không phải lúc nào cũng thực tế (tại sao các giá trị áp suất âm của a Chẳng hạn, sóng âm thanh chạm vào micrô có hình dạng của chẳng hạn? Nó đặt giả định về cách hoạt động của nguồn âm thanh có thể không luôn luôn đúng. Xin lưu ý rằng tôi không ngụ ý bất kỳ sự phù hợp nào của sơ đồ nội suy từ quan điểm tâm sinh lý học ở đây, liên quan đến việc xử lý bộ não (xem phần mô phỏng lại Lanczos$x^3$ví dụ). Tôi nghiêm túc nói về các ràng buộc áp đặt bởi phép nội suy khi một người cố gắng "đoán" các giá trị thiếu khách quan.

Không có "phương pháp tốt nhất" phổ quát nào, nó phụ thuộc khá nhiều vào vấn đề nội suy mà bạn đang phải đối mặt.

Tôi hi vọng cái này giúp được.

PS (Các tạo phẩm được tạo bởi mỗi trong hai phương pháp gần đúng cũng khác nhau, xem ví dụ Hiện tượng Gibbs và quá mức , mặc dù quá mức là "ở phía bên kia" của câu hỏi của bạn.)

Câu hỏi hay và câu trả lời khai sáng. Tôi muốn chia sẻ một vài hiểu biết như sau. Có tồn tại các cơ sở đa thức trực giao cũng như các cơ sở đa thức của Legendre (trái ngược với các cơ sở đơn thức) ổn định hơn trong việc phù hợp với đa thức bậc cao hơn. Vì các cơ sở chân thành được sử dụng trong công thức nội suy của Shannon (mà thực sự cũng có thể được xem là một hoạt động tích chập và do đó là một hoạt động lọc) là các cơ sở trực giao cho một không gian Hilbert được phân tách bằng băng, các cơ sở đa thức trực giao có thể phục vụ cho một lớp hàm lớn hơn không nằm trong dải phân cách không gian cùng với sức mạnh của tính trực giao với chúng.

Lọc đa thức (không phải nội suy) cũng đã có trong tài liệu Hóa học từ năm 1960. Một bài giảng hay về việc xem lại chủ đề này đã được viết bởi R.Schafer có tiêu đề, Bộ lọc Savitzky-Golay là gì, liên kết: http: // www-inst. eecs.ber siêu.edu / ~ e123 / fa12 / docs / SGFilter.pdf