Biến đổi Fourier 4 lần = chức năng ban đầu (từ sách Bracewell)

Tôi đang liếc qua "Biến đổi Fourier và các ứng dụng của nó" của Ronald Bracewell, đây là một cuốn sách giới thiệu hay về Biến đổi Fourier. Trong đó, anh ta nói rằng nếu bạn lấy FT của một hàm 4 lần, bạn sẽ lấy lại hàm ban đầu, tức là

$$F\left( F\left( F\left( F\left( g(x) \right) \right) \right) \right) = g(x)\,.$$

Ai đó có thể vui lòng chỉ cho tôi làm thế nào là có thể? Tôi giả sử câu lệnh trên là cho phức x và điều này có liên quan đến , , , , ?$i^0=1$$i^1=i$$i^2=-1$$i^3 = -i$$i^4=1$

Cảm ơn bạn đã giác ngộ.

Tôi sẽ sử dụng biến đổi Fourier không đơn nhất (nhưng điều này không quan trọng, nó chỉ là một sở thích):

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt\tag{1}$$

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega\tag{2}$$

trong đó (1) là biến đổi Fourier và (2) là biến đổi Fourier ngược.

Bây giờ nếu bạn chính thức thực hiện biến đổi Fourier của $X(\omega)$ bạn lấy

$$\mathcal{F}\{X(\omega)\}=\mathcal{F}^2\{x(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\tag{3}$$

So sánh (3) với (2) chúng ta có

$$\mathcal{F}^2\{x(t)\}=2\pi x(-t)\tag{4}$$

Vì vậy, biến đổi Fourier bằng với biến đổi Fourier ngược với sự thay đổi dấu của biến độc lập (ngoài một yếu tố tỷ lệ do sử dụng biến đổi Fourier không đơn nhất).

Kể từ khi biến đổi Fourier của $x(-t)$ bằng $X(-\omega)$, biến đổi Fourier của (4) là

$$\mathcal{F}^3\{x(t)\}=2\pi X(-\omega)\tag{5}$$

Và, bằng một đối số tương tự như đối số được sử dụng trong (3) và (4), biến đổi Fourier của $X(-\omega)$ bằng $2\pi x(t)$. Vì vậy, chúng tôi thu được cho biến đổi Fourier của (5)

$$\mathcal{F}^4\{x(t)\}=2\pi\mathcal{F}\{X(-\omega)\}=(2\pi)^2x(t)\tag{6}$$

đó là kết quả mong muốn. Lưu ý rằng yếu tố$(2\pi)^2$trong (6) là kết quả của việc sử dụng biến đổi Fourier không đơn nhất. Nếu bạn sử dụng biến đổi Fourier đơn nhất (trong đó cả biến đổi và nghịch đảo của nó đều có một yếu tố$1/\sqrt{2\pi}$) yếu tố này sẽ biến mất.

Tóm lại, ngoài các yếu tố liên tục không liên quan, bạn nhận được

$$x(t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(-t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(-\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(t)$$