Tính chất thống kê của ước tính Kalman dưới nhiễu Gaussian

Đối với mô hình không gian trạng thái tuyến tính với tiếng động nhà nước và đầu ra Gaussian độc lập và đoán hoàn hảo cho trạng thái ban đầu, làm dự toán Kalman có các thuộc tính sau:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

Ở đâu

P_{k | k} = = V một r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), hoặc là V một r ({\hat{x}}_{k | k}), hoặc là V một r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

là trạng thái tại thời điểm , là ngẫu nhiên $x_k$ $k$
vàlà đồng nghiệp của Kalman, tức là đầu ra của bộ lọc Kalman. $\hat{x}_{k|k}$ $P_{k|k}$

Có tài liệu tham khảo đề cập đến những?

Cảm ơn!

kalman-filters

— Tim
nguồn

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

@Jason: vâng, đó là ...

— Tim

Câu trả lời:

Hai câu sau đây tương đương với câu nói:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) Công cụ ước tính không thiên vị ; và

P_{k | k} = = V một r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) Công cụ ước tính là phù hợp .

$\mathbf{x}_{k|k}$

Nếu (1) không đúng, thì sai số trung bình bình phương (MSE) sẽ là sai lệch cộng với phương sai (trong trường hợp vô hướng). Rõ ràng, điều này lớn hơn chỉ phương sai và do đó không tối ưu.

Nếu (2) không đúng (nghĩa là hiệp phương sai tính toán của bộ lọc khác với hiệp phương sai thực sự) thì bộ lọc cũng sẽ không tối ưu. Vì Kalman Gain dựa trên hiệp phương sai được tính toán, một lỗi trong hiệp phương sai sẽ dẫn đến một lỗi trong mức tăng. Lỗi trong độ lợi có nghĩa là trọng số dưới mức tối ưu của các phép đo.

(Khi điều đó xảy ra, cả hai điều kiện đều đúng đối với bộ lọc được mô hình đúng. Lỗi trong mô hình hóa, chẳng hạn như mô hình động hoặc hiệp phương sai cũng sẽ khiến bộ lọc không tối ưu).

Nguồn: Bar-Shalom , đặc biệt là Mục 5.4 trên trang 232-233.

— Damien
nguồn

$x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

V một r (x_{k}) = = 0

$Var(x_k) = 0$

Và,

P_{k | k} = = V một r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

Lý lịch

$x_k$ $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = = Một x_{k} + B {bạn}_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

Như một lời giới thiệu: Bản thân giấy của Kalman:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
nguồn

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

@Drazick Nhiễu quá trình thường được ký hiệu w, với phương sai Q. xk là trạng thái hệ thống, sẽ không có nghĩa là các trạng thái là ngẫu nhiên; ước tính khác, là một biến ngẫu nhiên, có ý nghĩa

— aiao

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

w

$w$

k

$k$

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$