làm thế nào để phương trình này tương ứng với làm mịn?

Xin hãy giúp tôi hiểu làm mịn dữ liệu. Đây là một theo dõi cho câu hỏi trước đây của tôi được đăng ở đây . Đặc biệt là câu trả lời hàng đầu của Junuxx, nơi ông nói một cách làm mịn chức năng$f(x)$ Là:

ở đây chúng ta có thể thấy rằng cho mọi điểm trong $f[x]$, chúng tôi đang lấy trung bình có trọng số của điểm đó và hai điểm liền kề của nó, để có được phiên bản được làm mịn của $f[t]$ gọi là $f'[t]$.

Một bài báo về tăng cường lời nói giải thích rằng một phương trình của hình thức

giúp chúng ta có được giá trị của y dưới dạng làm mịn đệ quy của x. Đây$a[i]$ hoạt động như một tham số làm mịn và chính nó được tính như là

Ở đâu $p[i]$ được tính ở nơi khác và alpha là một hằng số. $y[i]$, $a[i]$và $x[i]$ là tất cả các mảng với $i$ các yếu tố.

Làm thế nào tôi có thể liên quan phương trình này của $y[i]$ với phương trình của $f'[t]$? Cả hai đều để làm mịn dữ liệu, tuy nhiên phương trình cho$f'[t]$ chứa trung bình trọng số của các điểm liên tiếp trong mảng cho $f[x]$ chính nó trong khi phương trình cho $y[i]$ không chứa các điểm dữ liệu liên tiếp cho $x[i]$. Làm thế nào chúng ta có thể hiểu phương trình này như là một sự làm mịn dữ liệu trong$x$?

Nếu câu hỏi này không liên quan khi các phương trình được đưa ra khỏi bối cảnh thì tôi sẽ vui lòng cung cấp thêm chi tiết.

Phương trình đầu tiên bạn đưa ra là phương trình sai khác cho bộ lọc FIR thông thấp hoặc bộ lọc tuyến tính với đáp ứng xung có thời hạn hữu hạn. Tôi sẽ viết nó một chút khác nhau (để nó rõ ràng rời rạc về thời gian và nguyên nhân ):

$f_s[n]$ là phiên bản được làm mịn của chuỗi đầu vào thời gian rời rạc $f[n]$, được tạo ra bằng cách vượt qua $f[n]$ thông qua bộ lọc FIR với các hệ số $[0.1, 0.8, 0.1]$. Đáp ứng tần số của bộ lọc này như sau:

Hóa ra, nó không phải là bộ lọc thông thấp rất tốt. Như tên ngụ ý, bộ lọc thông thấp sẽ truyền nội dung tần số thấp trong khi loại bỏ tần số cao hơn. Điều này cung cấp hành động "làm mịn" mà bạn đang tìm kiếm, như "lởm chởm", các tính năng không mượt mà được liên kết với tần số cao do chúng thay đổi nhanh chóng theo thời gian.

Phương trình thứ hai của bạn là một ví dụ về bộ lọc IIR thông thấp , bộ lọc tuyến tính có đáp ứng xung là vô hạn trong thời lượng. Phương trình khác biệt của bộ lọc là:

Ở đâu $x[n]$ là đầu vào bộ lọc và $y[n]$là đầu ra của bộ lọc. Loại bộ lọc này thường được sử dụng làm bộ lọc thông thấp có độ phức tạp thấp và thường được gọi là bộ tích hợp rò rỉ . Nó được ưa chuộng vì cách thực hiện đơn giản, độ phức tạp tính toán thấp và khả năng điều chỉnh của nó: tần số cắt của nó phụ thuộc vào giá trị của$\alpha$. $\alpha$ có thể nhận các giá trị trong khoảng $[0,1)$. $\alpha = 0$mang lại không lọc ở tất cả (đầu ra bằng với đầu vào); như$\alpha$tăng, tần số cắt của bộ lọc giảm. Bạn có thể nghĩ về$\alpha = 1$ như một trường hợp biên trong đó tần số cắt là vô cùng thấp (đầu ra của bộ lọc bằng 0 cho mọi thời điểm).

Ví dụ, nếu $\alpha = 0.8$, đáp ứng tần số của bộ lọc như sau:

đó là một bộ lọc tốt hơn so với ví dụ FIR của bạn; nó mang lại sự suy giảm tần số tốt hơn nhiều đối với đầu trên của dải. Mặc dù có thể không rõ ràng bằng cách xem xét phương trình sai khác (do phản hồi từ đầu ra của bộ lọc trở lại đầu vào của nó), nó thực hiện hiệu quả làm mịn trên đầu vào do tính chất thông thấp của nó. Tôi không chắc liệu mô tả này sẽ đặc biệt có ý nghĩa đối với ứng dụng của bạn hay không, nhưng đây là những khái niệm xử lý tín hiệu khá cơ bản; một số nghiên cứu về các văn bản DSP giới thiệu có thể giúp lấp đầy các khoảng trống.

Chỉnh sửa: Theo yêu cầu, đây là một âm mưu hiển thị cả hai phản hồi trên cùng một trục, minh họa mức suy giảm tương đối kém được cung cấp bởi bộ lọc ví dụ FIR: