Điều kiện ban đầu cho các hệ thống được mô tả trong không gian trạng thái - LTI hay không?

Giả sử chúng ta có một số hệ thống được đưa ra bởi

$$\begin{aligned} \dot{x}(t) &= Ax(t) +Bu(t) \\ y(t) &= Cx(t)+Du(t) \end{aligned}$$

Trong đó là các biến trạng thái, là đầu ra và là đầu vào. Tất cả các ma trận là không đổi. Câu hỏi tương tự áp dụng cho trường hợp riêng biệt$x(t)$$y(t)$$u(t)$

$$\begin{aligned} x[n+1] &= Ax[n] +Bu[n] \\ y[n] &= Cx[n]+Du[n] \end{aligned}$$

Được biết, một hệ thống có điều kiện ban đầu khác không có thể là LTI . Tuy nhiên, nếu , tôi không hiểu tại sao hệ thống ở trên sẽ không phải là LTI như được thể hiện. Theo như tôi biết, nếu một hệ thống được thể hiện theo cách đó, thì nó phải là tuyến tính và, vì ma trận không phụ thuộc vào , nên nó cũng bất biến theo thời gian.$x(0)\neq0$$t$

Vì vậy, chúng ta có một hệ thống phải là LTI vì nó được biểu thị trong không gian trạng thái với ma trận không đổi, nhưng nó không thể là LTI vì nó có .$x(0)\neq0$

Tôi không thể nhìn thấy sai lầm trong lý luận dẫn tôi đến mâu thuẫn vô lý này. Ai đó có thể chỉ ra nó?

Tôi chỉ là một sinh viên đại học nên có lẽ câu trả lời của tôi hơi ngây thơ, nhưng theo Oppenheim, không chỉ các điều kiện ban đầu khác không gây ra một phương trình vi phân / chênh lệch hệ số không đổi tuyến tính là không LTI. Một phương trình vi phân / khác biệt với các điều kiện ban đầu bằng không cố định cũng không thể là LTI. Đối với phương trình vi phân / chênh lệch hệ số không đổi tuyến tính mô tả một hệ thống LTI nguyên nhân, các điều kiện ban đầu phải thỏa mãn điều kiện nghỉ ngơi ban đầu: nghĩa là đầu ra không trở thành khác không cho đến khi đầu vào trở thành khác không.

Liên quan đến câu hỏi của bạn (biểu diễn không gian trạng thái), lưu ý rằng đầu vào của hệ thống là và đầu ra là . Thuộc tính "zero input / zero output" của các hệ thống tuyến tính chỉ áp dụng cho if , nếu chúng ta chỉ coi là đầu vào đối với hệ thống, nhưng dường như với tôi rằng khái niệm tuyến tính có thể được mở rộng thành các biểu diễn không gian trạng thái để giải thích cho vectơ trạng thái . Trong mọi trường hợp, các điều kiện ban đầu mà Oppenheim đề cập đến khi nói về phương trình vi phân (điều kiện trên đầu ra$u(t)$$y(t)$

$$y(t) = C x(t) + Du(t)$$ $x(t) = 0$$u(t)$$x(t)$$y(t)$và các dẫn xuất của nó) không giống với các điều kiện ban đầu bạn đã tham chiếu trong câu hỏi của mình (điều kiện trên vectơ trạng thái ). Một lần nữa, tôi không biết liệu tôi có đúng không và bản thân tôi luôn bối rối vì điều này, nhưng có lẽ điều này có thể giúp ích.$x(t)$

Nếu bạn xem Chương 5 của:

https://ocw.mit.edu/cifts/electrical-engineering-and-computer-science/6-011-int sinhtion-to-c truyền thông-control-and -ignal- Processing-spring-2010 / readings / MIT6_011S10_notes.pdf

có tiêu đề "Thuộc tính của các mô hình không gian trạng thái LTI", phương trình 5.33 dường như không có vấn đề gì với các điều kiện ban đầu, hoặc bất kỳ cuốn sách nào khác (tôi đã sửa, có một cuốn sách) mà tôi biết. Trừ khi Oppenheim cảm động với sự điên rồ, tôi có khuynh hướng chấp nhận đặc điểm của anh ta rằng các điều kiện ban đầu không đủ điều kiện để hệ thống LTI là "không tuyến tính" bằng cách sử dụng thuật ngữ "tuyến tính đầu vào không".

Ở phần đầu của ghi chú, (và trong phiên bản thứ 3 của Oppenheim và Shaefer), một hệ thống LTI được đưa ra là:

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[ n -k]$$ không yêu cầu là nhân quả hoặc ổn định. không phải thỏa mãn .$h[n]$$x[n]$$x[n]=0 \;\text{for} \; n <0$

Có một sự nhấn mạnh trong văn bản rằng người ta cần xem xét toàn bộ lịch sử của , không chỉ cho .$x[n]$$n \ge 0$

let trong đó

$$x[n] = \hat{x}[n]+\tilde{x}[n]$$ $$\hat{x}[n] = \begin{cases} x[n]\; \text{for}\; n<0 \; \text{and}\\ 0 \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$

và theo tuyến tính.

$$\tilde{x}[n] = \begin{cases}0\; \text{for} \; n<0 \; \text{and}\; \\ x[n] \; \text{for}\; n\ge 0 \end{cases}$$

$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k] + \sum_{k=0}^{\infty} \tilde{x}[k] h[ n -k]$$ nếu là nhân quả, $y[n]$ $$y[n]=\underbrace{\sum_{k=-\infty}^{-1} \hat{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} \tilde{x}[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$

Điểm cốt yếu là các điều kiện ban đầu chiếm tài khoản đầu vào trước. Trong đó được tham chiếu cho là tùy ý, đó là một biểu hiện khác của bất biến thời gian. Điều kiện ban đầu không phải là một số giá trị tùy ý làm phiền hệ thống. if với thì điều kiện ban đầu bằng không. $n=0$$x[n]$$x[n] = 0$$n <0$

Hãy thử một cái gì đó khác. Đặt (trước một mẫu) và với , hệ thống là LTI mà không cần tranh cãi. Nhưng bây giờ, và bây giờ chúng ta có một điều kiện ban đầu. Sự dịch chuyển về phía trước của 1 mẫu sẽ làm cho hệ thống LTI trở nên phi tuyến?$z[n]=\tilde{x}[n+1]$$\tilde{x}[n]$

$$y[n]=\underbrace{ z[-1] h[n]}_{\text{zero input linear}} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} z[k] h[ n -k]}_{\text{zero state linear}}, \quad n \ge 0$$

Sai lầm logic ở gốc của câu hỏi là sử dụng định nghĩa về tuyến tính trạng thái bằng không và áp dụng nó cho trường hợp đầu vào bằng không.