Đối với các giá trị phức tạp, tại sao sử dụng liên hợp phức tạp trong tích chập?

8

Lấy từ lý thuyết bộ lọc thích ứng (2014) được viết bởi Haykin trang 110:

y (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k}^{*} u (n - k), n = 0, 1, 2, . . .

$y(n) = \sum_{k=0}^{\infty} w_k^*u(n-k), \quad n=0,1,2,...$

trong đó và là các giá trị phức tạp. Câu hỏi của tôi là tại sao sử dụng liên hợp phức tạp của ? Câu trả lời trong cuốn sách nói "..., theo thuật ngữ phức tạp, thuật ngữ đại diện cho phiên bản vô hướng của một sản phẩm bên trong của hệ số bộ lọc và đầu vào bộ lọc " . Tôi vẫn không hiểu, bạn có thể nói rõ hơn về câu trả lời này không? $u$ $w$ $w_k$ $w_k^*u(n-k)$ $w_k$ $u(n-k)$

— Ηλεκτρννν
nguồn

10

Hóa ra tích chập và tương quan có liên quan chặt chẽ với nhau. Đối với tín hiệu thực (và tín hiệu năng lượng hữu hạn):

Kết hợp: $\qquad y[n] \triangleq h[n]*x[n] = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} h[n-m] \, x[m]$

Tương quan: $\qquad R_{yx}[n] \triangleq \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} y[n+m] \, x[m] = y[-n]*x[m]$

Bây giờ, trong không gian số liệu, chúng tôi muốn sử dụng ký hiệu này:

R_{x y} [n] ≜ ⟨ x [m], y [n + m] ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y [n + m]

$R_{xy}[n] \triangleq \Big\langle x[m], y[n+m] \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y[n+m]$

Các là sản phẩm Nội của các vectơ và nơi và . Sau đó, chúng tôi cũng muốn xác định định mức của một vectơ là $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $\mathbf{x} =\{x[n]\}$ $\mathbf{y} =\{y[n]\}$

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x^{2} [m]} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x^2[m]} \\ \end{align}$

và nó trông rất giống chiều dài Euclidian của một vectơ với vô số kích thước. Tất cả điều này hoạt động rất tốt trong trường hợp các phần tử của vectơ đều là thực. Định mứcluôn luôn thực và không tiêu cực. $x[n]$ $\mathbf{x}$ $\| \mathbf{x} \|$

Vì vậy, nếu chúng ta khái quát hóa và cho phép các phần tử của có giá trị phức tạp, thì nếu định nghĩa tương tự của định mức sẽ được sử dụng, $\mathbf{x}$

‖ x ‖ ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩}

$\| \mathbf{x} \| \triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle}$

sau đó định nghĩa của sản phẩm bên trong cần được sửa đổi một chút:

⟨ x, y ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y^{*} [m]

$\Big\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y^*[m]$

Sau đó, nếu có các phần tử có giá trị phức tạp, định mức sẽ xuất hiện dưới dạng: $\mathbf{x}$

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x^{*} [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} | x [m] |^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x^*[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}\Big|x[m]\Big|^2} \\ \end{align}$

Vì vậy, rõ ràng, Haykin chỉ đưa định nghĩa về sản phẩm bên trong trở lại định nghĩa về tích chập.

— robert bristow-johnson
nguồn

4

Việc sử dụng liên hợp trong việc hình thành bộ lọc thích nghi là không cần thiết. Tuy nhiên, nếu bạn không viết đầu ra bằng cách sử dụng liên hợp thì khá dễ quên rằng các biến bạn đang xử lý rất phức tạp. Nếu bạn viết thì không rõ bạn đang xử lý số lượng phức tạp.

h (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k} (n) u (n - k)

$h(n)=\sum_{k=0}^{\infty}w_k(n)u(n-k)$

Như Robert đã chỉ ra, định nghĩa về tương quan cần phải được cập nhật để xử lý dữ liệu phức tạp nếu bạn quen chỉ nhìn thấy nó được xác định cho dữ liệu thực.

Một lý do khác để sử dụng liên hợp như thế này, là để đơn giản hóa việc lấy đạo hàm để tìm giải pháp cho bộ lọc thích ứng. Giả sử chúng ta có hàm mục tiêu có giá trị thực mà chúng ta đang cố gắng giảm thiểu - thông thường đây là lỗi bình phương trung bình, tức là . Lấy đạo hàm của đại lượng này, wrt không đơn giản như vậy. $J(w)$ $E[e^*(n)e(n)]$ $w$

Kỹ thuật phổ biến là viết hàm mục tiêu là hàm của và - nghĩa là coi và là các biến độc lập. Bây giờ chúng ta có $w$ $w^*$ $w$ $w^*$

J (w) = F (w, w^{*})

$J(w) = F(w,w^*)$

Để tìm mức tối thiểu, chúng ta lấy đạo hàm wrt và và đặt chúng về 0, vì vậy chúng tôi muốn giải $w$ $w^*$

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } = \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

Tuy nhiên, nếu bạn thực hiện phân tích, bạn sẽ thấy rằng

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = 0 ⟺ \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } =0 \iff \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

Vì vậy, bạn chỉ cần giải một trong những phương trình này.

Để biết chi tiết đầy đủ, bạn có thể xem:

"Một toán tử gradient phức tạp và ứng dụng của nó trong lý thuyết mảng thích ứng", Brandwood 1983, Truyền thông, Radar và Xử lý tín hiệu, Kỷ yếu IEE
"Toán tử Gradient phức tạp và tính toán CR" Kreutz-Delgado tại đây
"Độ dốc phức tạp và Hessian", van den Bos, 1994, Tầm nhìn, Xử lý tín hiệu và hình ảnh, Kỷ yếu IEE

Đối với lý thuyết về Bộ lọc thích ứng, tôi rất thích phần trình bày trong "Nguyên tắc cơ bản của bộ lọc thích ứng" của Ali Sayed. Ông trình bày một dẫn xuất thống nhất của các bộ lọc LMS, NLMS, RLS, APA và Lattice.

— David
nguồn