Thay đổi Fourier không thể đo hai pha ở cùng một tần số. Tại sao không?

Tôi đã đọc rằng biến đổi Fourier không thể phân biệt các thành phần có cùng tần số nhưng khác pha. Ví dụ: trong Mathoverflow hoặc xrayphysics , nơi tôi có tiêu đề câu hỏi của mình từ: "Biến đổi Fourier không thể đo hai pha ở cùng tần số."

Tại sao điều này đúng về mặt toán học?

Đó là bởi vì sự hiện diện đồng thời của hai tín hiệu hình sin có cùng tần số và các pha khác nhau thực tế tương đương với một hình sin đơn lẻ ở cùng tần số, nhưng, với một pha và biên độ mới như sau:

Hãy để hai thành phần hình sin được tóm tắt như thế này:

Sau đó, từ các thao tác tôn giáo, có thể thấy rằng:

nơi

do đó bạn thực sự có một hình sin đơn (với một pha và biên độ mới), và do đó không có gì để phân biệt ...

Nếu bạn đọc thêm, xuống " Phiên bản đơn giản của biến đổi Fourier mà chúng ta đã thảo luận ở trên không thể giải thích cho sự dịch pha - làm thế nào để biến đổi Fourier thực sự làm điều đó?" bạn sẽ lưu ý một lời giải thích tốt hơn một chút, họ sử dụng sin và cosin.

" Toán học của các ca pha (tùy chọn) .

Để xem làm thế nào một sự thay đổi pha có thể được chia thành các sin và cosin không dịch chuyển, chúng ta cần một danh tính lượng giác: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( b).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Như bạn có thể thấy, sự dịch pha chuyển một số biên độ (năng lượng) của tín hiệu sin thành tín hiệu cosin, nhưng tần số không thay đổi. Nếu bạn sử dụng các đại diện số phức tạp của biến đổi Fourier, sự thay đổi giai đoạn đơn giản là đại diện cho một vòng quay của giá trị trong mặt phẳng phức tạp, với tầm quan trọng không thay đổi. Thực tế là sự dịch pha chỉ chuyển biên độ từ sin sang cos có nghĩa là việc thêm hai tín hiệu có cùng tần số và pha khác nhau sẽ tạo ra tín hiệu có sự dịch pha tổng thể (trung bình) ở tần số đó - và không có bộ nhớ của các thành phần. ".

Trong thực tế, nó phức tạp hơn, xem " Kỹ thuật Fourier một phần ", " Đối xứng liên hợp pha " và " FOV và k-space ". Trong phần " Giới thiệu về mã hóa pha - tôi ", họ giải thích:

"... khi hai sóng hình sin (A và B) có cùng tần số nhưng các pha khác nhau được thêm vào với nhau, kết quả là một sóng hình sin khác có cùng tần số nhưng là một pha khác nhau. Khi các sóng hình sin gần nhau cùng pha với nhau. can thiệp, và khi hết pha họ phá hoại một cách triệt để.

... Chỉ nhìn vào tổng của chúng, bạn chỉ cần thấy một sóng hình sin có tần số và pha nhất định. Từ quan sát đơn lẻ này là không thể để phân loại các đóng góp riêng lẻ được tạo bởi sóng A và B.

Tuy nhiên, bằng cách thực hiện hai quan sát với A và B được dịch chuyển theo các giai đoạn khác nhau, có thể xác định các đóng góp cá nhân của họ bằng cách chỉ nhìn vào tổng của họ. Điều này được minh họa dưới đây trong một hình ảnh MR, trong đó A và B là hai pixel trong cùng một cột dọc cộng hưởng ở cùng tần số được mã hóa (ω). Cụ thể, tại Bước 0 (đường cơ sở, khi không áp dụng gradient mã hóa pha), tổng tín hiệu từ A & B có thể được viết: So (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin t.

...

Từ phép đo duy nhất này trong Bước 1, chúng ta vẫn chưa biết biên độ riêng của A và B, chỉ có sự khác biệt của chúng (A B). Sử dụng thông tin từ cả Bước 0 và Bước 1 cùng nhau, chúng tôi có thể trích xuất các đóng góp tín hiệu duy nhất bằng đại số đơn giản:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A    và    ½ [Vậy - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

".

Nếu không, nó sẽ trông như thế này (hình A):

PFI hiển thị các tạo phẩm từ các thuật toán khác nhau: (A) thuật toán cơ bản, (B) thuật toán BAX, (C) thuật toán không lấp đầy, thuật toán cơ bản (D) sử dụng dữ liệu có hằng số trước, hiệu chỉnh SDPS tuyến tính, minh họa các tạo tác từ SDPS bậc cao.

$c\cos(\omega t+\phi)$$Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$$Re$$c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$$ae^{\omega t i}$$Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$$c e^{\phi i}$$c$$\phi$

Vì vậy, trong khi cả hai tín hiệu đều ảnh hưởng đến cường độ của đầu ra, một tín hiệu bổ sung sẽ không ảnh hưởng đến vị trí trong không gian pha.

Tôi muốn đi theo đường dẫn của một phiên bản hình học của câu hỏi, sử dụng tổng số vòng tròn.

Sines và cosin "chỉ" là phần thực và ảo của cisoids, hoặc hàm mũ phức tạp (một số tài liệu tham khảo có thể được tìm thấy tại Làm thế nào để tôi giải thích một hàm mũ phức tạp theo trực giác ? , Biểu đồ uốn lượn 3D cho tín hiệu phân tích: Heyser corkscrew / xoắn ốc , Fourier Transform Danh tính ).

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$$\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$$\omega$

$a_1$$a_2$$e^{2 \pi i\phi_1}$$e^{2 \pi i\phi_2}$

$|a|<1$

và như vậy:

$(1+ae^{2\pi i\phi})$$\alpha e^{2\pi i\varphi}$$a$vòng tròn -radius giống như một bánh xe quay nhỏ gắn vào van (giống như các vòng tròn màu xanh và đỏ chỉ từ hình trên). Bây giờ, chúng ta nhìn vào chuyển động của một chấm trên chu vi của bánh xe nhỏ.

$1$$a$$\alpha$$\ref{a}$$\ref{b}$ .

Nói cách khác, không phải biến đổi Fourier, cũng không phải mắt người, có thể phân biệt các thành phần có cùng tần số nhưng khác pha .

[[Tôi sẽ thêm hình động nếu tôi tìm thấy thời gian]]