Hiểu lầm về ước tính Monte Carlo Pi

Tôi khá chắc chắn rằng tôi hiểu cách tích hợp Monte Carlo hoạt động nhưng tôi không hiểu công thức của cách nó được sử dụng để ước tính Pi. Tôi sẽ thực hiện theo quy trình được nêu trong slide thứ 5 của bản trình bày này http://homepages.inf.ed.ac.uk/im Hur2 / teacher / 09mlss / slides.pdf

Tôi hiểu các bước sơ bộ. Pi bằng 4 lần diện tích của một phần tư vòng tròn đơn vị. Và diện tích của phần tư trên cùng bên phải của vòng tròn đơn vị có tâm ở (0,0) tương đương với tích phân của đường cong là phần tư trên cùng bên phải của vòng tròn đơn vị trong và . 0 < y < $0<x<1$$0<y<1$

Điều tôi không hiểu là tích phân này là như thế nào

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

Trong đó $P(x,y)$ được phân bố đồng đều trong ô vuông đơn vị xung quanh vòng tròn quý (nghĩa là nó luôn bằng 1 nếu $0<x<1$ và $0<y<1$ và 0 nếu không). Vì vậy, điều này có nghĩa là $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
là hàm là góc phần tư phía trên bên phải của vòng tròn đơn vị tại $0<x<1$ và $0<y<1$ nhưng tôi không hiểu điều này đúng như thế nào vì hàm chỉ thị chỉ có thể là 1 hoặc 0. Tôi hiểu rằng có lẽ nó được viết theo cách này để làm cho việc lấy mẫu Monte Carlo trở nên dễ dàng (nghĩa là đó là một kỳ vọng nên chỉ lấy mẫu từ $P(x,y)$ và lấy trung bình của các mẫu được áp dụng cho $I((x^2+y^2)<1)$) nhưng nó không có ý nghĩa trực quan với tôi tại sao tích phân đó đại diện cho khu vực dưới đường cong đó.

Ai đó có thể cung cấp một lời giải thích trực quan về điều này. Có thể chỉ ra cách tích phân đó được bắt nguồn theo cách từng bước?

BIÊN TẬP:

Tôi đã có thể hiểu rõ hơn bằng cách liên quan đến kỳ vọng vào một khu vực. Tôi sẽ giải thích nó ở đây trong trường hợp nó giúp được bất cứ ai. Đầu tiên bắt đầu với Pi liên quan đến khu vực góc phần tư phía trên bên phải của vòng tròn đơn vị

$\pi=4\times A_{tr}$

Sau đó, chúng ta đặt góc phần tư phía trên bên phải vào hình vuông đơn vị. Và theo phân phối đồng đều trên ô vuông đơn vị, diện tích của góc phần tư hình tròn tỷ lệ thuận với xác suất lấy được mẫu từ nó. Theo sau các đẳng thức sau đây giữ

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

và $A_{square}=1$ vì vậy

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

Và thay vào phương trình ban đầu

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

và cũng đúng là bằng tích phân kép ban đầu.$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

Vì vậy, tôi hiểu nó bằng cách liên hệ khu vực với một xác suất sau đó liên quan đến xác suất đó với một kỳ vọng tương đương với tích phân. Hãy cho tôi biết nếu tôi đã thực hiện bất kỳ sai lầm.

Diện tích hình tròn đường tròn bán kính bằng . Điều đó có nghĩa là một phần tư vòng tròn có diện tích . Điều này có nghĩa là hình vuông có cạnh bán kính của hình tròn là .π l 2 l 2 π / 4 một r e một = l $l$$\pi l^2$$l^2\pi/4$$area=l^2$

Điều này có nghĩa là tỷ lệ giữa diện tích của một phần tư hình tròn và diện tích hình vuông là . $\pi/4$

Một điểm nằm trong ô vuông nếu . và nó nằm trong một phần tư của vòng tròn nếu . 0 < x < 1 , 0 < y < 1 0 < x < 1 , 0 < y < 1 , x 2 + y 2 < $(x,y)$$0<x<1, 0<y<1$$0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

Tích phân của bạn là vậy Đó chính xác là khu vực được mô tả bởi một phần tư vòng tròn$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

Giải thích trực quan đơn giản nhất dựa trên sự hiểu rằng . Do đó, . Khi bạn nhận ra tích phân kép chỉ đơn giản là một xác suất, sẽ có ý nghĩa trực quan rằng bạn có thể lấy mẫu và từ bình phương đơn vị và tính tỷ lệ các lần rút trong đó . ∫ ∫ I ( x 2 + y 2 < 1 ) d x d y = P ( x 2 + y 2 < 1 ) x y x 2 + y 2 < $E(I(A)) = P(A)$$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$$x$$y$$x^2 + y^2 <1$

Có lẽ phần còn lại của trực giác thiếu hiểu biết của bạn là mối liên hệ giữa khu vực và xác suất. Kể từ khi khu vực của đơn vị toàn bộ vuông là 1 và điểm được phân bố đều trong vuông, diện tích của bất kỳ khu vực trong đơn vị vuông sẽ tương ứng với xác suất mà một điểm được chọn ngẫu nhiên sẽ nằm trong .A $(x,y)$$A$$A$

Tôi đã đến CV lướt web này và tôi thấy rằng mã của Monte Carlo là ở Octave. Tôi tình cờ có một mô phỏng trong R làm cho ý tưởng lấy số làm phân phối đồng đều hai biến trong mặt phẳng dưới các ràng buộc của tích phân trong OP rất trực quan:[ 0 , 1 $\pi$$[0,1]$

Cho rằng một phần tư của một vòng tròn được đặt trong một hình vuông 1 đơn vị, diện tích là . Vì vậy, việc tạo các điểm phân phối đồng đều trong hình vuông sẽ kết thúc thảm toàn bộ hình vuông và tính toán phần hoàn thành sẽ tương đương với việc tích hợp vì chúng tôi chỉ chọn phân số các chấm trong vòng tròn liên quan đến hình vuông đơn vị:( x , y ) 1 < $\pi/4$$(x,y)$ ∬1((x2+y2)<$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

Chúng ta có thể vẽ các giá trị nằm trong bán kính trong số 10.000 lần rút:

Và chúng ta có thể, một cách tự nhiên, tiến gần hơn và gần hơn bằng cách chọn nhiều điểm hơn. Với 1 triệu điểm chúng tôi nhận được:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

một kết quả rất gần đúng Đây là cốt truyện: