Phân phối cận biên của đường chéo của ma trận phân phối Wishart nghịch đảo

Giả sử . Tôi quan tâm đến phân phối biên của các phần tử đường chéo . Có một vài kết quả đơn giản về phân phối các mô hình con của (ít nhất là một số được liệt kê tại Wikipedia). Từ đó tôi có thể hình dung rằng phân phối biên của bất kỳ phần tử đơn lẻ nào trên đường chéo là Gamma nghịch đảo. Nhưng tôi đã không thể suy ra phân phối chung. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Tôi nghĩ có lẽ nó có thể được bắt nguồn từ thành phần, như:

p (x_{11} | x_{tôi tôi}, tôi > 1) p (x_{22} | x_{tôi tôi}, tôi > 2) Giáo dục p (x_{(p - 1) (p - 1)} | x_{p p}) p (x_{p p}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

nhưng tôi không bao giờ có được bất cứ nơi nào với nó và nghi ngờ thêm rằng tôi đang thiếu một cái gì đó đơn giản; có vẻ như điều này "nên" được biết đến nhưng tôi đã không thể tìm / hiển thị nó.

distributions probability pdf

— JMS
nguồn

Dự luật 7.9 của Bilodeau và Brenner (bản pdf có sẵn miễn phí trên web) mang lại một kết quả đầy hứa hẹn cho Wishart (có lẽ nó mang lại cho Wishart nghịch đảo). Nếu bạn phân vùng theo các khối là , thì là Wishart, cũng như

và chúng độc lập.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

— shabbychef

Mệnh đề đó chỉ áp dụng nếu bạn biết toàn bộ ma trận: nếu bạn chỉ có đường chéo, thì bạn không biết ví dụ

X_{12}

$X_{12}$ , vì vậy bạn không thể thực hiện chuyển đổi.

— petrelharp

Nói chung, người ta có thể phân tách bất kỳ ma trận hiệp phương sai nào thành phân rã tương quan phương sai dưới dạng Ở đây là ma trận tương quan với các đường chéo đơn vị . Do đó, các mục nhập đường chéo của hiện là một phần của ma trận đường chéo có phương sai . Vì các mục nhập chéo của ma trận phương sai bằng 0 , phân phối chung mà bạn đang tìm kiếm chỉ là sản phẩm của các phân phối biên của mỗi mục nhập chéo.

Σ = = tã (Σ) Q tã (Σ)^{⊤} = = D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

Bây giờ xem xét các tiêu chuẩn mô hình nghịch đảo-Wishart cho một chiều hiệp phương sai ma trận $d$ $\Sigma$

Σ ~ tôi W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

Các phần tử đường chéo của được phân phối biên dưới dạng $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{tôi tôi} ~ mời χ^{2} (ν + d - 1, \frac{λ_{tôi tôi}}{ν - d + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Một tài liệu tham khảo thú vị với nhiều linh mục khác nhau cho ma trận hiệp phương sai phân rã thành các phân phối tương quan phương sai khác nhau được đưa ra ở đây

— người dùng3303
nguồn