Biểu thức dạng đóng cho phân phối kurtosis mẫu của phân phối Gaussian

Có một biểu thức dạng đóng cho phân phối Kurtosis mẫu của dữ liệu được lấy mẫu từ phân phối Gaussian không? I E,

$P(\hat{K}<a)$ trong đó là kurtosis mẫu.$\hat{K}$

Phân phối lấy mẫu chính xác là khó khăn để lấy được; đã có những khoảnh khắc đầu tiên (có từ năm 1929), các xấp xỉ khác nhau (có từ đầu những năm 1960) và các bảng, thường dựa trên mô phỏng (có từ những năm 1960).

Để cụ thể hơn:

Fisher (1929) đưa ra những khoảnh khắc về phân phối mẫu của độ lệch và độ nhiễu trong các mẫu bình thường, và Pearson (1930) đưa ra bốn khoảnh khắc đầu tiên về phân phối mẫu của độ lệch và nhiễu loạn và đề xuất các xét nghiệm dựa trên chúng.

Vì vậy, ví dụ :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

Độ lệch của là$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

Kurtosis dư thừa của là .$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* Cẩn thận - các giá trị cho các khoảnh khắc và tùy thuộc vào định nghĩa chính xác của kurtosis mẫu được sử dụng. Ví dụ, nếu bạn thấy một công thức khác cho hoặc , thì nói chung, đó sẽ là do một định nghĩa hơi khác về bệnh kurtosis.$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

Trong trường hợp này, các công thức trên nên áp dụng cho .$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Pearson (1963) thảo luận về việc phân phối gần đúng phân bố kurtosis trong các mẫu bình thường theo phân phối Pearson loại IV hoặc phân phối Johnson (không nghi ngờ gì vì bốn lý do đầu tiên được đưa ra ba thập kỷ trước đó là phần lớn để sử dụng họ Pearson) .$S_U$

Pearson (1965) đưa ra các bảng cho phần trăm kurtosis cho một số giá trị của .$n$

D'Agostino và Tietjen (1971) đưa ra các bảng phân vị rộng hơn cho bệnh kurtosis.

D'Agostino và Pearson (1973) đưa ra biểu đồ về tỷ lệ phần trăm của kurtosis bao gồm một loạt các trường hợp rộng hơn một lần nữa.

Fisher, RA (1929),
"Khoảnh khắc và khoảnh khắc sản phẩm của phân phối lấy mẫu",
Kỷ yếu của Hội toán học Luân Đôn , sê-ri 2, 30: 199-238.

Pearson, ES, (1930)
"Một sự phát triển hơn nữa của các bài kiểm tra về tính quy phạm" ,
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
"Một số vấn đề phát sinh gần đúng với phân phối xác suất, sử dụng các khoảnh khắc,"
Biometrika , 50 , 95-112

Pearson, ES (1965)
"Bảng điểm phần trăm của và trong các mẫu bình thường: Làm tròn số," Biometrika , 52 , 282-285$\sqrt{b_1}$$b_2$

D'Agostino, RB và Tietjen, GL (1971),
"Điểm xác suất mô phỏng của cho các mẫu nhỏ" , Biometrika , 58 , 669-672.$b_2$

D'Agostino, RB và Pearson, ES (1973),
"Các thử nghiệm cho sự rời khỏi tính quy tắc. Kết quả thực nghiệm cho việc phân phối và ," Biometrika , 60 , 613-622.$b_2$$\sqrt{b_1}$

Kurtosis mẫu từ một mẫu bình thường, được phân phối xấp xỉ bằng 0 bình thường trung bình với phương sai , trong đó là cỡ mẫu (tự nhiên, càng lớn thì xấp xỉ càng tốt. Biểu thức phức tạp hơn cho phương sai tìm thấy trong trang wikipedia ). Đối với các mẫu Gaussian có kích thước nhỏ (<40), phần trăm đã được lấy từ bài báo này: Lacher, DA (1989). Lấy mẫu phân phối của xiên và kurtosis. Hóa lâm sàng, 35 (2), 330-331.$\approx 24/n$$n$$n$