Tôi cần bao nhiêu nhãn dán để hoàn thành album FIFA Panini của mình?

Tôi đang chơi Album Nhãn dán trực tuyến FIFA Panini , đây là phiên bản Internet của các album Panini cổ điển thường được phát hành cho World Cup bóng đá, giải vô địch châu Âu và có thể các giải đấu khác.

Album có giữ chỗ cho 424 nhãn dán khác nhau. Mục đích của trò chơi là thu thập tất cả 424. Các nhãn dán có gói 5, có thể lấy được thông qua các mã được tìm thấy trực tuyến (hoặc, trong trường hợp album in cổ điển, được mua tại quầy thông tin địa phương của bạn).

Tôi đưa ra các giả định sau:

Tất cả các nhãn dán được xuất bản với cùng số lượng.
Một gói nhãn dán không chứa các bản sao.

Làm cách nào tôi có thể tìm ra bao nhiêu gói nhãn dán tôi cần mua để có thể chắc chắn một cách hợp lý (giả sử 90%) rằng tôi có tất cả 424 nhãn dán độc đáo?

probability coupon-collector-problem

— Vidar S. Ramdal
nguồn

Một số hiểu biết có thể đạt được từ việc đọc các câu hỏi khác liên quan đến vấn đề người thu thập phiếu giảm giá .

— Glen_b -Reinstate Monica

Bạn cần 700 gói; cơ hội có được tất cả 424 nhãn dán sau đó bằng 90,0024%. 761 là cần thiết để mang lại cơ hội đến 95% và 898 cho cơ hội 99%. (Trung bình, cần gần 560 gói để hoàn thành bộ. Không thể (ít hơn một lần cơ hội trong một nghìn) sẽ cần ít hơn

— 352.

Tôi không chắc giả định đầu tiên có thể được thực hiện. "Shinies" có xu hướng hiếm hơn.

— James

Hmm, từ những gì tôi có thể đọc được từ tài liệu được đăng bởi Asuranceturix, họ đã chứng minh rằng không có sự khác biệt đáng kể.

— Vidar S. Ramdal

@ VidarS.Ramdal Tôi đứng sửa.

— James

Câu trả lời:

Đó là một vấn đề của người sưu tập phiếu giảm giá đẹp, với một chút thay đổi được giới thiệu bởi thực tế là nhãn dán có gói 5 cái.

Nếu các nhãn dán được mua riêng lẻ, kết quả được biết đến, như bạn có thể thấy ở đây .

Tất cả các ước tính cho giới hạn trên 90% cho nhãn dán mua riêng lẻ cũng là giới hạn trên cho vấn đề với gói 5, nhưng giới hạn trên gần hơn.

Tôi nghĩ rằng việc đạt được mức giới hạn trên 90% tốt hơn, sử dụng gói 5 phụ thuộc, sẽ khó khăn hơn rất nhiều và sẽ không mang lại cho bạn kết quả tốt hơn nhiều.

Vì vậy, bằng cách sử dụng ước tính đuôi với và , bạn sẽ nhận được một câu trả lời tốt $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

CHỈNH SỬA :

Bài báo "Vấn đề của người sưu tầm với bản vẽ nhóm" (Wolfgang Stadje), một tài liệu tham khảo của bài báo do Assuranceturix mang đến, trình bày một giải pháp phân tích chính xác cho Vấn đề của Người sưu tập Coupon với "gói sticker".

Trước khi viết định lý, một số định nghĩa ký hiệu: sẽ là tập hợp của tất cả các nhãn dán có thể,. sẽ là tập hợp con mà bạn quan tâm (trong OP, ) và. Chúng ta sẽ vẽ, với sự thay thế, tập hợp ngẫu nhiên của nhãn dán khác nhau. sẽ là số phần tử của xuất hiện trong ít nhất một trong các tập con đó. $S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

Định lý nói rằng:

P (X_{k} (Một) = = n) = = (\binom{tôi}{n}) Σ_{j = = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{S + n - tôi - j}{m}) / (\binom{S}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

Vì vậy, đối với OP chúng ta có và . Tôi đã thực hiện một số lần thử với các giá trị gần ước tính cho bài toán của bộ sưu tập phiếu giảm giá cổ điển (729 gói) và tôi có xác suất 90,02% cho k bằng 700 . $l=s=n=424$ $m=5$ $k$

Vì vậy, nó không quá xa giới hạn trên :)

— Jundiaius
nguồn

Và câu trả lời tốt này sẽ?

— ziggystar

Khoảng 3642 nhãn dán ngẫu nhiên. Vì vậy, giới hạn trên của "gói 5 vấn đề" sẽ là một cái gì đó ít hơn 729 gói.

— Jundiaius

Hôm nọ tôi bắt gặp một bài báo đề cập đến một câu hỏi liên quan chặt chẽ:

http://www.unige.ch/math/headsks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Nếu tôi đã hiểu chính xác, số lượng gói bạn cần mua sẽ là:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

Tuy nhiên, như eqperes chỉ ra trong các bình luận, câu hỏi cụ thể mà OP đặt ra thực sự được đề cập chi tiết trong một bài báo khác không truy cập mở.

Kết luận cuối cùng của họ cho thấy chiến lược sau (cho một album gồm 660 nhãn dán):

Mua một hộp gồm 100 gói 5 miếng dán (500 miếng dán, đảm bảo sẽ khác nhau)
Mua thêm 40 gói 5 nhãn dán và trao đổi các bản sao cho đến khi bạn có tối đa 50 nhãn dán bị thiếu.
Mua các nhãn dán còn lại trực tiếp từ Panini (chi phí này gấp khoảng 1,5 lần).

Tổng cộng có 140 gói + tối đa 15 gói thêm giá trị nhãn dán (tính theo chi phí) được mua theo cách nhắm mục tiêu, tương đương với tối đa 155 gói .

— Asuranceturix
nguồn

Tuyệt quá! Có vẻ như lập luận trung tâm về kết quả của họ sẽ nằm trong bài viết "Vấn đề của người sưu tầm với bản vẽ nhóm" , thật đáng buồn khi không có quyền truy cập mở.

— Jundiaius

Haha, thật tuyệt! Họ cũng đi vào chi tiết về cách trao đổi ảnh hưởng đến kết quả (mà tôi đã bỏ qua câu hỏi). Rất thú vị, cảm ơn!

— Vidar S. Ramdal

Bạn có thể tóm tắt giải pháp cho vấn đề của OP được cung cấp bởi bài báo không? Liên kết đôi khi hết hạn và sau đó câu trả lời này sẽ trở nên ít hữu ích hơn.

— Andy

@Andy: Tôi đã chỉnh sửa câu trả lời để giải quyết mối quan tâm của bạn, nhưng nó không chính xác là câu trả lời cho câu hỏi ban đầu. Thật không may, bài báo gốc cung cấp câu trả lời đó quá khó đọc đối với tôi, xin lỗi.

— Asuranceturix

Tôi nghi ngờ về một hộp 100 gói chỉ chứa các nhãn dán riêng biệt. Điều này có vẻ như nó sẽ gây ra sự phức tạp sản xuất lớn và không cần thiết cho lợi ích nhỏ.

— jwg