Tên của sai lầm thống kê theo đó kết quả của các lần lật đồng tiền trước ảnh hưởng đến niềm tin về các lần lật đồng tiếp theo là gì?

28

Như chúng ta đã biết, nếu bạn lật một đồng xu có cơ hội hạ cánh bằng nhau như đuôi, thì nếu bạn lật đồng xu nhiều lần, một nửa thời gian bạn sẽ nhận được đầu và một nửa thời gian bạn sẽ nhận được đuôi.

Khi thảo luận điều này với một người bạn, họ nói rằng nếu bạn lật đồng xu 1000 lần, và giả sử 100 lần đầu tiên nó hạ cánh, thì cơ hội hạ cánh sẽ tăng lên (logic là nếu nó không thiên vị, sau đó khi bạn lật nó 1000 lần, bạn sẽ có khoảng 500 đầu và 500 đuôi, vì vậy đuôi phải có nhiều khả năng hơn).

Tôi biết rằng đó là một sai lầm, vì kết quả trong quá khứ không ảnh hưởng đến kết quả trong tương lai. Có một tên cho ngụy biện đặc biệt đó? Ngoài ra, có một lời giải thích tốt hơn về lý do tại sao điều này là ngụy biện?

probability distributions sampling

— oggmonster
nguồn

8

Nếu bạn lật một đồng xu 100 lần và nó hạ cánh 100 lần, tỷ lệ cược là nó không phải là một đồng tiền không thiên vị.

— Robert

1

@Robert Làm sao vậy? Vì mỗi lần lật là độc lập với nhau, nên khả năng nó sẽ là H 100x giống như thể đó là một chuỗi không khớp của H & T, hoặc 100x T

— yuritsuki

11

@thinlyveiledquestionmark Tôi muốn chơi bài xì phé với bạn ... nhưng chỉ khi tôi được phép giao dịch. Tôi nghĩ rằng Robert có nghĩa là việc thực hiện 100 H trong 100 thử nghiệm sẽ chuyển niềm tin của anh ta từ đồng xu thành công bằng sang đồng tiền là không công bằng. Với dữ liệu này 100 H trong 100 thử nghiệm, bạn sẽ phải sở hữu một điểm rất mạnh trước để không thay đổi đáng kể về phía sau.

Pr (H)

$\Pr(H)$

— Sycorax nói phục hồi Monica

5

@thinlyveiledquestionmark Bạn phải cẩn thận. Với các lần lật độc lập, mỗi chuỗi 100 lần lật của H hoặc T đều có khả năng như nhau: 100H có khả năng tương đương 50H 50T, cũng giống như HTHTHTHT ... HT, v.v. Nhưng nó ít có khả năng nhận được 100H hơn so với việc có tổng cộng 50 đầu, bởi vì có

10^{29}

$10^{29}$ cách khác nhau để có 50 lần lật lên đầu và 50 lần lật lên.

— Lagerbaer

3

Ý tưởng của Robert là hoàn toàn hợp lệ và có thể là nguồn gốc của "ngụy biện" ngay từ đầu. Bộ não của chúng ta có dây trong Bayes, không phải là ý nghĩa thường xuyên. Thông tin "hoàn hảo" như "đồng tiền hoàn toàn công bằng" hiếm khi tồn tại trong tự nhiên. Do đó, 100 người đứng đầu trên 100 lần thử thực tế sẽ khiến chúng tôi tin rằng

P (H e a d s) > 0.5

$P(Heads) > 0.5$

— PA6OTA

41

Nó được gọi là ngụy biện của Gambler .

— abaumann
nguồn

32

Câu đầu tiên của câu hỏi này, kết hợp một ngụy biện (liên quan) khác:

"Như chúng ta đều biết, nếu bạn lật một đồng xu có cơ hội hạ cánh bằng nhau như đuôi, thì nếu bạn lật đồng xu nhiều lần, một nửa thời gian bạn sẽ nhận được đầu và một nửa thời gian bạn sẽ nhận được đuôi ."

Không, chúng tôi sẽ không nhận được điều đó, chúng tôi sẽ không nhận được một nửa thời gian và một nửa thời gian. Nếu chúng ta có được điều đó, thì con bạc sẽ không bị nhầm lẫn như vậy . Biểu thức toán học cho câu lệnh bằng lời này như sau: Đối với một số "lớn" (nhưng hữu hạn) , chúng ta có , trong đó hiển nhiên là biểu thị số lượng lần đồng xu hạ cánh. Vì là hữu hạn, nên cũng là hữu hạn và có giá trị khác biệt so với . Vậy điều gì sẽ xảy ra sau khi các lật đã được thực hiện? Hoặc là nó hạ cánh, hoặc không. Trong cả hai trường hợp, $n'$ $n_{h} = \frac {n'}{2}$ $n_{h}$ $n'$ $n'+1$ $n'$ $n'+1$ $n_h$ vừa dừng lại bằng "một nửa số lần tung".

Nhưng có lẽ những gì chúng ta thực sự có nghĩa là một "mức tưởng tượng lớn" ? Sau đó, chúng tôi tuyên bố $n$

lim_{n \to \infty} n_{h} = \frac{n}{2}

$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$

Nhưng ở đây, RHS ("bên tay phải") chứa mà LHS ("bên tay trái"), đã chuyển qua vô cùng. Vì vậy, RHS cũng là vô cùng, và vì vậy điều mà tuyên bố này nói là số lần đồng xu sẽ hạ cánh bằng vô hạn, nếu chúng ta ném đồng xu một số lần vô hạn (cách chia cho là không đáng kể): $n$ $2$

lim_{n \to \infty} n_{h} = \frac{n}{2} = \infty

$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$

Đây là một tuyên bố cơ bản chính xác, nhưng vô dụng , và rõ ràng không phải là những gì chúng ta có trong tâm trí.

Trong tất cả, tuyên bố trong câu hỏi không giữ, bất kể "tổng số lần tung" có được coi là hữu hạn hay không.

Có lẽ sau đó chúng ta nên nói

lim_{n \to \infty} \frac{n_{h}}{n} = \frac{1}{2} ?

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$

Đầu tiên, điều này chuyển thành "Tỷ lệ số lượng đầu rơi trên tổng số lần tung có xu hướng giá trị khi số lần tung có xu hướng vô cùng", đó là một tuyên bố khác - không có "một nửa tổng số lần ném" đây. Ngoài ra, đây là cách xác suất đôi khi vẫn được nhận thấy - là giới hạn xác định của tần số tương đối. Vấn đề với tuyên bố này là nó chứa trong LHS một dạng không xác định: cả tử số và mẫu số đều đi đến vô cùng. $1/2$

Hmmm, hãy đưa vào kho vũ khí biến ngẫu nhiên . Xác định một biến ngẫu nhiên là lấy giá trị nếu quăng thứ xuất hiện các đầu, nếu nó xuất hiện đuôi. Khi đó, chúng ta có $X_i$ $1$ $i$ $0$

\frac{n_{h}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$

Bây giờ chúng ta có thể ít nhất là nhà nước

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = \frac{1}{2} ?

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$

Không . Đây là một giới hạn xác định. Nó cho phép tất cả các nhận thức có thể có về trình tự của , và do đó, nó thậm chí không đảm bảo rằng một giới hạn sẽ tồn tại, chứ đừng nói là nó bằng . Trong thực tế, một tuyên bố như vậy chỉ có thể được coi là một ràng buộc đối với trình tự, và nó sẽ phá hủy tính độc lập của các cú ném. $X$ $1/2$

Những gì chúng ta có thể nói, là tổng trung bình này hội tụ xác suất ("yếu") đến (Bernoulli -Weak Law of Large Number), $1/2$

lim_{n \to \infty} Pr (| \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \frac{1}{2} | < ε) = 1, \forall ε > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$

và trong trường hợp đang xem xét, nó cũng hội tụ gần như chắc chắn ("mạnh mẽ") (Borel -Strong Law of Large Number)

Pr (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = \frac{1}{2}) = 1,

$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$

Nhưng đây là những tuyên bố xác suất về xác suất liên quan đến chênh lệch giữa và , và không phải về giới hạn của chênh lệch (mà theo tuyên bố sai nên bằng 0 - và không phải vậy). $n_h/n$ $1/2$ $n_h-n_t$

Phải thừa nhận rằng, phải mất một số nỗ lực trí tuệ chuyên dụng để thực sự hiểu hai câu nói này và chúng khác nhau như thế nào (về "lý thuyết" và "thực hành") so với một số câu trước - tôi chưa khẳng định sự hiểu biết sâu sắc như vậy đối với bản thân mình.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

1

Có lẽ một trong những phản hồi tốt nhất, mang tính giáo dục mà tôi đã đọc trong một thời gian dài. Làm tốt.

— Pete Mancini

@AlecosPapadopoulos Tôi nghĩ rằng nó sẽ giúp câu trả lời đưa ra điều chúng ta có thể nói trong một công thức như bạn đã làm với các công thức sai. Tôi đoán nó giống như \ lim P (\ frac {1} {n} \ sum X_i) = 1?

— kutschkem

@kutschkem Gợi ý tuyệt vời. Vừa xong.

— Alecos Papadopoulos

12

Sai lầm này có nhiều tên.

1) Nó có thể được biết đến nhiều nhất là ngụy biện của Gambler

2) đôi khi nó còn được gọi là ' luật số nhỏ ' (cũng xem ở đây ) (vì nó liên quan đến ý tưởng rằng các đặc điểm dân số phải được phản ánh trong các mẫu nhỏ) - mà tôi nghĩ là một tên gọn gàng cho sự tương phản của nó với luật với số lượng lớn, nhưng không may, cùng tên được áp dụng cho phân phối Poisson (và đôi khi cũng được các nhà toán học sử dụng để chỉ một cái gì đó khác), do đó có thể gây nhầm lẫn.

3) trong số những người tin rằng ngụy biện, đôi khi nó được gọi là ' luật trung bình ', đặc biệt có xu hướng được viện dẫn sau một cuộc chạy mà không có kết quả nào để cho rằng kết quả là 'do', nhưng tất nhiên không phải là ngắn hạn như vậy luật tồn tại - không có gì có tác dụng 'bù đắp' cho sự mất cân bằng ban đầu - cách duy nhất làm mất đi sự khác biệt ban đầu là khối lượng các giá trị sau này có giá trị trung bình là 1/2 .

Hãy xem xét một thử nghiệm trong đó một đồng xu công bằng được tung liên tục; hãy là số của người đứng đầu và là số đuôi quan sát lên đến khi kết thúc thử nghiệm -thứ. Lưu ý rằng $H_i$ $T_i$ $i$ $i=H_i+T_i$

Thật thú vị khi lưu ý rằng về lâu dài (tức là ), trong khi không hội tụ xác suất thành ,phát triển với tăng - thực sự nó phát triển không ràng buộc; không có gì "đẩy nó về 0". $n\to\infty$ $\frac{H_n}{n}$ $\frac{_1}{^2}$ $E|H_n-T_n|$ $n$

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

1

Bạn đang nghĩ về 'stochastic'? Việc lật một đồng xu công bằng (hoặc cuộn của một súc sắc công bằng) là ngẫu nhiên (nghĩa là độc lập) theo nghĩa là nó không phụ thuộc vào lần lật trước của đồng tiền đó. Giả sử một kẻ lừa đảo công bằng, thực tế là đồng xu đã được lật hàng trăm lần với một trăm đầu dẫn đến không thay đổi thực tế rằng lần lật tiếp theo có cơ hội trở thành 50/50.

Ngược lại, khả năng rút một lá bài nào đó rút một lá bài từ bộ bài mà không cần thay thế là không ngẫu nhiên vì khả năng rút một lá bài nhất định sẽ thay đổi khả năng rút lá bài trong lần rút tiếp theo (nếu là thay thế, nó sẽ là ngẫu nhiên).

— người dùng63551
nguồn

stochastic không có nghĩa là độc lập

— Ben Voigt

1

"Giả sử một kẻ lừa đảo công bằng ... lần lật tiếp theo có cơ hội trở thành người đứng đầu 50/50" , tôi nghĩ bạn có một sự thật triết học sâu sắc ở đây. Bạn có thể mở rộng câu trả lời để giải thích điều gì xảy ra nếu đó là một kẻ không công bằng (AKA thường xuyên?).

— hyde

0

Thêm vào phản hồi của Glen_b và Alecos, hãy xác định là số lượng người đứng đầu trong thử nghiệm đầu tiên . Một kết quả quen thuộc sử dụng xấp xỉ bình thường cho nhị thức là xấp xỉ . Bây giờ, trước khi quan sát 100 lần ném đầu tiên, bạn của bạn đã đúng rằng có khả năng sẽ gần 500. Thực tế, $X_n$ $n$ $X_n$ $N(n/2, \sqrt{n/4})$ $X_{1000}$

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$ .

Tuy nhiên, sau khi quan sát , hãy xác định là số lượng đầu trong 900 thử nghiệm gần nhất, sau đó $X_{100} =100$ $Y_{900}$

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

kể từ khoảng . $Y_{900}$ $N(450, 15)$

Do đó, sau khi quan sát 100 đầu trong 100 thử nghiệm đầu tiên, không còn khả năng quan sát cao gần 500 thành công trong 1000 thử nghiệm đầu tiên, tất nhiên giả sử rằng đồng tiền là công bằng. Lưu ý rằng đây là một ví dụ cụ thể minh họa rằng sự mất cân bằng ban đầu khó có thể được bù đắp trong thời gian ngắn.

Hơn nữa, lưu ý rằng nếu , thì $n=1,000,000$

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

nhưng tác động của sự mất cân bằng trong 100 lần tung đầu tiên là không đáng kể trong thời gian dài kể từ khi

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

— jsk
nguồn

0

Bạn đang đề cập đến ngụy biện của Gambler , mặc dù điều này không hoàn toàn chính xác.

Thật vậy, nếu cụm từ "được đưa ra một đồng tiền công bằng giả định và người ta quan sát một chuỗi kết quả nhất định, thì ước tính xác suất cơ bản của đồng tiền là gì", điều này trở nên rõ ràng hơn.

Thật vậy, " ngụy biện " chỉ liên quan đến (giả định) tiền công bằng, trong đó các sản phẩm khác nhau của probs là bằng nhau. Tuy nhiên, điều này đòi hỏi một cách giải thích trái ngược với (nghiên cứu) các trường hợp tương tự với một đồng xu có phân phối xác suất khác (không đối xứng / sai lệch).

Để biết thêm về điều này (và một chút thay đổi) hãy xem câu hỏi này .

Điều này giống hệt như sai lầm được sử dụng trong nhiều nghiên cứu thống kê trong đó mối tương quan hàm ý nhân quả . Nhưng nó có thể là một gợi ý về mối quan hệ nhân quả hoặc nguyên nhân chung.

— Nikos M
nguồn

0

Chỉ cần lưu ý rằng, nếu bạn nhận được một số lượng lớn đầu hoặc đuôi liên tiếp, bạn có thể tốt hơn nên xem lại giả định trước đó của bạn rằng giả định rằng đồng tiền là công bằng.

— Avraham
nguồn