Một đồng xu công bằng được tung cho đến khi một cái đầu xuất hiện lần đầu tiên. Xác suất của điều này xảy ra trên một số lẻ quăng là?

Một đồng xu công bằng được tung cho đến khi một cái đầu xuất hiện lần đầu tiên. Xác suất của điều này xảy ra trên một số lẻ quăng là? Làm thế nào để tôi tiếp cận vấn đề này?

Thêm các xác suất của đồng xu sắp lên đầu lần đầu tiên khi tung 1, 3, 5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• Các hạn là khá rõ ràng, đó là khả năng là người đầu tiên tung là người đứng đầu.$1/2$

• Các hạn là xác suất nhận được người đứng đầu lần đầu tiên trên tung thứ ba, hoặc TTH chuỗi. Chuỗi đó có xác suất .$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• Các hạn là xác suất nhận được người đứng đầu lần đầu tiên trên tung thứ năm, hoặc TTTTH chuỗi. Chuỗi đó có xác suất .$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

Bây giờ chúng ta có thể viết lại loạt bài ở trên như

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

Đây là một loạt hình học tổng hợp đến . Cách dễ nhất để thể hiện điều này là với một ví dụ trực quan. Bắt đầu với bộ$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

Đây là một loạt hình học tổng hợp thành .$1$

Nếu chúng ta chỉ tổng hợp các số hạng chẵn của chuỗi đó, chúng ta có thể thấy rằng chúng tổng hợp .$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

Nếu bạn loại bỏ các điều khoản chẵn khỏi chuỗi đầy đủ, bạn sẽ chỉ còn lại các điều khoản lẻ, phải cộng lại tới .$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

Hãy suy nghĩ một cách đệ quy - hãy để là xác suất của đầu đầu tiên trên một cú ném lẻ và để là xác suất của đầu đầu tiên trên một cú ném chẵn. Bây giờ , và chúng ta cũng có bằng với xác suất lần đầu tiên quăng đuôi . Do đó ; ; .$p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$