Hiểu bài kiểm tra Chi bình phương và phân phối Chi bình phương

Tôi đang cố gắng để hiểu logic đằng sau bài kiểm tra chi bình phương.

Các thử nghiệm Chi-squared là $\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$ . $\chi ^2$sau đó được so sánh với phân phối Chi bình phương để tìm ra p.value để từ chối hoặc không giả thuyết khống. $H_0$: các quan sát đến từ phân phối mà chúng ta đã sử dụng để tạo ra các giá trị mong đợi của chúng tôi. Ví dụ, chúng tôi có thể kiểm tra xem xác suất lấy đượcheadđược đưa ra bởi$p$như chúng tôi mong đợi. Vì vậy, chúng tôi lật 100 lần và tìm$n_H$ Headsvà$1-n_H$ tails. Chúng tôi muốn so sánh kết quả của chúng tôi với những gì được mong đợi ($100 \cdot p$). Chúng tôi cũng có thể sử dụng phân phối nhị thức nhưng đó không phải là điểm của câu hỏi Câu hỏi là:

Bạn có thể giải thích tại sao, theo giả thuyết null, theo phân phối chi bình phương?$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

Tất cả những gì tôi biết về phân phối Chi bình phương là phân phối chi bình phương độ là tổng phân phối chuẩn k bình phương.$k$$k$

Chúng tôi cũng có thể sử dụng phân phối nhị thức nhưng đó không phải là điểm của câu hỏi

Tuy nhiên, đó là điểm khởi đầu của chúng tôi ngay cả đối với câu hỏi thực tế của bạn. Tôi sẽ bao gồm nó một cách không chính thức.

Chúng ta hãy xem xét với trường hợp nhị thức nói chung hơn:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

Giả sử và p sao cho Y gần đúng bằng một bình thường có cùng giá trị trung bình và phương sai (một số yêu cầu điển hình hơn min ( n p , n ( 1 - p ) ) không nhỏ, hoặc n p ( 1 - p ) không nhỏ).$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

Sau đó sẽ xấp xỉ ~ χ 2 1 . Ở đây Y là số lần thành công.$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

Ta có và Var ( Y ) = n p ( 1 - p ) .$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

(Trong trường hợp thử nghiệm, được biết và p được chỉ định theo H 0. Chúng tôi không thực hiện bất kỳ ước tính nào.)$n$$p$$H_0$

Vì vậy, sẽ xấp xỉ ~ χ 2 $(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$ .

Lưu ý rằng . Cũng lưu ý rằng $(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$ .$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

Do đó $\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

Đó chỉ là thống kê chi bình phương cho trường hợp nhị thức.

Vì vậy, trong trường hợp đó, thống kê chi bình phương nên có sự phân bố bình phương của một biến ngẫu nhiên chuẩn (xấp xỉ).