Làm thế nào để tìm một mật độ từ một chức năng đặc trưng?

Một bản phân phối có chức năng đặc trưng

ϕ (t) = (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4), - \infty < t < \infty

$\phi(t) = (1-t^2/2)\exp(-t^2/4),\ -\infty \lt t \lt \infty$

Cho thấy rằng phân phối là hoàn toàn liên tục và viết hàm mật độ của phân phối.

Cố gắng:

\int_{- \infty}^{\infty} | (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) | d t = (- 2 / t) (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) - 2 \exp (- t^{2} / 4) |_{- \infty}^{0}

$\int_{-\infty}^{\infty}|(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)|dt =(-2/t)(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)-2\exp(-t^2/4)|_{-\infty}^{0}$

Kết quả tương tự cho vì bình phương. $[0,\infty]$ $t$

Tôi không chắc là tôi đã thực hiện đúng việc tích hợp, nhưng nếu tôi có thể chỉ ra rằng giá trị tuyệt đối của nhỏ hơn , thì hàm này hoàn toàn liên tục. $\phi(t)$ $\infty$

— số liệu thống kê
nguồn

Sử dụng cho cho mọi đa thức . Điều này đảm bảo rằng cả hai đuôi đều có thể tích hợp.

p (t) / \exp (t^{2}) \to 0

$p(t)/\exp(t^2)\to 0$

t \to \pm \infty

$t\to \pm\infty$

p

$p$

— Stefan Hansen

Các hàm mật độ được tìm thấy với biến đổi Fourier ngược. Hàm mật độ của phân phối, nếu mật độ như vậy tồn tại, sẽ được cung cấp bởi

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ϕ (x) d x = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ((1 - x^{2} / 2) e^{- x^{2} / 4}) d x .

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\phi(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\left((1-x^2/2)e^{-x^2/4}\right) dx .$

Tích phân này có thể được chia thành hai, mỗi phần có một tích phân của mẫu

\exp (- Q_{t} (x)) x^{2 k}

$\exp(-Q_t(x))x^{2k}$

Trong đó là một hình thức bậc hai với số hạng đầu âm và là số nguyên không âm. Điều này làm cho mỗi tích phân là một hàm Schwartz (giảm nhanh) , đảm bảo tính tích hợp của nó cho bất kỳ . Tính tích hợp chứng minh nó là liên tục ; sự giảm nhanh chóng chứng tỏ nó là hoàn toàn liên tục. Các tích phân được thực hiện dễ dàng bằng cách hoàn thành hình vuông theo cấp số nhân, giảm chúng thành bội số của các khoảnh khắc chẵn của phân bố Gaussian. Kết quả là $Q_t$ $k$ $t$

f (t) = \frac{2}{\sqrt{π}} t^{2} e^{- t^{2}} .

$f(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} t^2 e^{-t^2}.$

Tính liên tục của xác nhận kết luận trước đó về tính liên tục tuyệt đối của phân phối. $f$

Lô của f

Bình phương của biến (đối xứng) này có phân phối Gamma . $(3/2, 1)$

Ngoài ra, người ta có thể nhận ra rằng

ϕ (t) = - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{t^{2}}{4}) e^{- t^{2} / 4} = (- i)^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} 2 e^{- t^{2} / 4}

$\phi(t) = -2\left(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{4}\right)e^{-t^2/4} = (-i)^2\frac{d^2}{dt^2}2e^{-t^2/4}$

tỷ lệ với đạo hàm thứ hai của Gaussian , ngụ ý (vì toán tử trên các hàm đặc trưng tương đương với phép nhân các hàm phân phối theo biến) mà mật độ tồn tại và tỷ lệ với lần mật độ có cf là . Điều đó có thể nhận ra ngay lập tức dưới dạng phân phối Gaussian (Bình thường) với mật độ tỷ lệ thuận với . Tại thời điểm này, tất cả mọi người phải làm là tìm ra hằng số chuẩn hóa thông qua tích hợp hoặc bằng cách tính toán phương sai của phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn . $e^{-t^2/4}$ $-id/dt$ $f(x)$ $x^2$ $2e^{-t^2/4}$ $e^{-x^2}$ $2/\sqrt{\pi}$ $\sqrt{1/2}$

— whuber
nguồn