Tổng các biến ngẫu nhiên cắt ngắn bình thường

Giả sử tôi có biến ngẫu nhiên bình thường độc lập$n$

$$X_1 \sim \mathrm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\\X_2 \sim \mathrm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\\\vdots\\X_n \sim \mathrm{N}(\mu_n, \sigma_n^2)$$

và . Tôi sẽ mô tả mật độ của như thế nào nếu phân phối của mỗi được cắt ngắn trong ? Nói cách khác, tôi đang lấy mẫu từ phân phối bình thường độc lập, loại bỏ các mẫu không nằm trong phạm vi của mỗi trung bình và tổng hợp chúng. Y X i ( μ i - 2 σ i , μ i + 2 σ i ) n 2 σ $Y=X_1+X_2+\dotsm+X_n$$Y$$X_i$$(\mu_i - 2\sigma_i, \mu_i + 2\sigma_i)$$n$$2\sigma_i$

Ngay bây giờ, tôi đang làm điều này với mã R bên dưới:

x_mu <- c(12, 18, 7)
x_sd <- c(1.5, 2, 0.8)
a <- x_mu - 2 * x_sd
b <- x_mu + 2 * x_sd

samples <- sapply(1:3, function(i) {
  return(rtruncnorm(100000, a[i], b[i], x_mu[i], x_sd[i]))
})

y <- rowSums(samples)

Có phương pháp nào để tạo ra mật độ của trực tiếp không?$Y$

Bạn có thể sử dụng xấp xỉ bằng các phương pháp yên ngựa, cho tổng các quy tắc rút ngắn. Bây giờ tôi sẽ không cung cấp thông tin chi tiết, bạn có thể xem câu trả lời của tôi về Tổng phân phối Gamma cho các gợi ý. Những gì chúng ta cần là tìm hàm tạo thời điểm cho một bình thường bị cắt cụt, rất dễ dàng. Tôi sẽ làm điều đó ở đây cho một tiêu chuẩn bình thường bị cắt ở , có mật độ f ( x ) = { $\pm 2$ nơiC=Φ(2)-Φ(-2)ở đâyφ(x),Φ(x)là mật độ và lũy cho một tiêu chuẩn bình thường, tương ứng.

$$f(x) =\begin{cases} \frac1{C} \phi(x), & |x| \le 2 \\ 0, & |x| > 2 \end{cases}$$ $C=\Phi(2) - \Phi(-2)$$\phi(x), \Phi(x)$

Hàm tạo mô men có thể được tính là và sau đó chúng ta có thể sử dụng xấp xỉ yên ngựa.

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M(t) = \E e^{tX}=\frac1{C}\int_{-2}^2 e^{tx} \phi(x)\; dx=\frac1{C}e^{\frac12 t^2} [\Phi(2-t)-\Phi(-2-t) ]$$

Tôi tò mò tại sao, nhưng vâng, có một cách đơn giản để tạo pdf của tổng số phân phối này:

## install.packages("truncnorm")
## install.packages("caTools")
library(truncnorm)

x.mu <- c(12, 18, 7)
x.sd <- c(1.5, 2, 0.8)
x.a <- x.mu - 2*x.sd
x.b <- x.mu + 2*x.sd

dmulti <- function(x, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             dtruncnorm(x, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)
pmulti <- function(q, a, b, mu, sd)
  rowSums(
    sapply(1:length(mu),
           function(idx)
             ptruncnorm(q, a=a[idx], b=b[idx], mean=mu[idx], sd=sd[idx])))/length(mu)

pointrange <- range(c(x.a, x.b))
pointseq <- seq(pointrange[1], pointrange[2], length.out=100)
## Plot the probability density function
plot(pointseq, dmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")

## Plot the cumulative distribution function
plot(pointseq, pmulti(pointseq, x.a, x.b, x.mu, x.sd),
     type="l")