Biến đổi Anscombe và xấp xỉ bình thường

Biến đổi Anscombe là . $a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$

Bất cứ ai cũng có thể chỉ cho tôi cách chứng minh rằng phiên bản biến đổi Anscombe của biến ngẫu nhiên phân phối Poisson xấp xỉ phân phối bình thường (khi )? $Y = a(X)$ $X$ $\lambda>4$

distributions normal-distribution poisson-distribution

— MarkDollar
nguồn

Gợi ý : Phương pháp Delta. (Ngoài ra, tìm kiếm các biến đổi ổn định phương sai , là một phần của động lực.)

— hồng y

Cảm ơn các Mpikts! Tôi sẽ khá thành thật, tôi không thực sự bắt đầu như thế nào. Các công cụ chính và "bắt đầu" mà tôi cần để chứng minh điều này là gì?

— MarkDollar

Dưới đây là bản phác thảo bằng chứng kết hợp ba ý tưởng: (a) phương pháp delta, (b) biến đổi ổn định phương sai và (c) đóng cửa phân phối Poisson dưới các tổng độc lập.

Trước tiên, hãy xem xét một chuỗi các biến ngẫu nhiên với trung bình . Sau đó, Định lý giới hạn trung tâm khẳng định rằng $X_1, X_2, \ldots$ $\lambda > 0$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - λ) \overset{d}{\to} N (0, λ) .

$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> .$

Lưu ý rằng phương sai tiệm cận phụ thuộc vào tham số (có lẽ chưa biết) . Sẽ thật tuyệt nếu chúng ta có thể tìm thấy một số chức năng của dữ liệu ngoài sao cho sau khi định tâm và định cỡ lại, nó có cùng phương sai tiệm cận cho dù tham số là gì. $\lambda$ $\bar{X}_n$ $\lambda$

Các phương pháp đồng bằng cung cấp một cách tiện dụng để xác định sự phân bố của các chức năng mượt mà của một số số liệu thống kê có phân phối hạn chế đã được biết. Đặt là hàm có đạo hàm đầu tiên liên tục sao cho . Sau đó, bằng phương thức delta (chuyên biệt cho trường hợp quan tâm cụ thể của chúng tôi), $g$ $g'(\lambda) \neq 0$

\sqrt{n} (g ({\bar{X}}_{n}) - g (λ)) \overset{d}{\to} N (0, λ g^{'} (λ)^{2}) .

$\sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>.$

Vì vậy, làm thế nào chúng ta có thể làm cho hằng số phương sai tiệm cận (giả sử giá trị ) cho tất cả có thể ? Từ biểu thức trên, chúng tôi biết rằng chúng tôi cần phải giải quyết $1$ $\lambda$

g^{'} (λ) = λ^{- 1 / 2} .

$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$

Không khó để thấy rằng tính đối kháng chung là cho bất kỳ nào và phân phối giới hạn là bất biến đối với lựa chọn (bằng phép trừ), vì vậy chúng ta có thể đặt mà không mất tính tổng quát. Hàm như vậy được gọi là biến đổi ổn định phương sai . $g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$ $c$ $c$ $c = 0$ $g$

Do đó, bằng phương pháp delta và lựa chọn của chúng tôi, chúng tôi kết luận rằng $g$

\sqrt{n} (2 \sqrt{{\bar{X}}_{n}} - 2 \sqrt{λ}) \overset{d}{\to} N (0, 1) .

$\sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>.$

Bây giờ, phân phối Poisson được đóng lại dưới các khoản tiền độc lập. Vì vậy, nếu là Poisson với mean , thì tồn tại các biến ngẫu nhiên là iid Poisson với mean sao cho có cùng phân phối với . Điều này thúc đẩy sự gần đúng trong trường hợp một biến ngẫu nhiên Poisson duy nhất. $X$ $\lambda$ $Z_1, \ldots, Z_n$ $\lambda/n$ $\sum_{i=1}^n Z_i$ $X$

Những gì Anscombe (1948) tìm thấy là việc sửa đổi phép biến đổi (hơi) thành cho một số hằng số thực sự hoạt động tốt hơn đối với nhỏ hơn . Trong trường hợp này, là về tối ưu. $g$ $\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$ $b$ $\lambda$ $b = 3/8$

Lưu ý rằng sửa đổi này "huỷ hoại" sự thật tài sản của sai-ổn định , tức là, là không sai-ổn định theo nghĩa hẹp. Nhưng, nó gần và cho kết quả tốt hơn cho nhỏ hơn . $g$ $\tilde{g}$ $\lambda$

— hồng y
nguồn