Tại sao phân phối trung bình 0 và độ lệch chuẩn 1 luôn được sử dụng?

14

Số liệu thống kê của tôi đã được tự học, nhưng rất nhiều tài liệu tôi đọc được chỉ ra một tập dữ liệu có ý nghĩa 0 và độ lệch chuẩn là 1.

Nếu đó là trường hợp thì:

Tại sao có nghĩa là 0 và SD 1 là một tài sản tốt để có?
Tại sao một biến ngẫu nhiên được rút ra từ mẫu này bằng 0,5? Cơ hội vẽ 0,001 là 0,5 vì vậy đây sẽ là phân phối phẳng ...
Khi mọi người nói về Z Điểm, họ thực sự có ý nghĩa gì ở đây?

probability

— Jack Kada
nguồn

10

Lúc đầu, câu trả lời hữu ích nhất có lẽ là giá trị 0 và sd của 1 là thuận tiện về mặt toán học. Nếu bạn có thể tìm ra xác suất cho phân phối với giá trị trung bình là 0 và độ lệch chuẩn là 1, bạn có thể tính toán chúng cho bất kỳ phân phối điểm tương tự nào với phương trình rất đơn giản.
Tôi không theo dõi câu hỏi này. Giá trị trung bình của 0 và độ lệch chuẩn của 1 thường áp dụng cho phân phối chuẩn thông thường, thường được gọi là đường cong hình chuông. Giá trị rất có thể là giá trị trung bình và nó rơi ra khi bạn đi xa hơn. Nếu bạn có một bản phân phối thực sự bằng phẳng thì không có giá trị nào cao hơn giá trị khác. Câu hỏi của bạn ở đây được hình thành kém. Có phải bạn đang nhìn vào câu hỏi về lật đồng xu? Tra cứu phân phối nhị thức và định lý giới hạn trung tâm.
"Có nghĩa là ở đây"? Ở đâu? Câu trả lời đơn giản cho điểm z là chúng là điểm số của bạn được chia tỷ lệ như thể giá trị trung bình của bạn là 0 và độ lệch chuẩn là 1. Một cách nghĩ khác là nó lấy điểm riêng vì số độ lệch chuẩn đạt được từ nghĩa là. Phương trình đang tính toán (điểm - trung bình) / độ lệch chuẩn. Những lý do bạn làm điều đó khá đa dạng nhưng một lý do là trong các khóa học thống kê giới thiệu, bạn có các bảng xác suất cho các điểm số z khác nhau (xem câu trả lời 1).

Nếu bạn tra cứu điểm z trước, ngay cả trong wikipedia, bạn sẽ nhận được câu trả lời khá hay.

— John
nguồn

Trên 2) Tôi tin rằng sự nhầm lẫn là ý nghĩa của p (X = .01) khi X là biến ngẫu nhiên liên tục. Theo trực giác, xác suất dường như bằng không ở mọi nơi vì không có cơ hội X chính xác là 0,01. Người hỏi nên xem lại định nghĩa của hàm mật độ trong trường hợp liên tục, được định nghĩa là đạo hàm của hàm mật độ tích lũy.

— Tristan

6

Để bắt đầu với những gì chúng ta đang nói ở đây là phân phối chuẩn thông thường, phân phối bình thường với giá trị trung bình là 0 và độ lệch chuẩn là 1. Bàn tay ngắn cho một biến được phân phối dưới dạng phân phối chuẩn thông thường là Z.

Dưới đây là câu trả lời của tôi cho câu hỏi của bạn.

(1) Tôi nghĩ có hai lý do chính tại sao phân phối chuẩn thông thường lại hấp dẫn. Đầu tiên, bất kỳ biến phân phối thông thường nào cũng có thể được chuyển đổi hoặc biến đổi thành một tiêu chuẩn thông thường bằng cách trừ đi giá trị trung bình của nó từ mỗi quan sát trước khi chia mỗi quan sát cho độ lệch chuẩn. Đây được gọi là phép biến đổi Z hoặc tạo điểm Z. Điều này rất tiện dụng đặc biệt là trong những ngày trước khi máy tính.

\begin{aligned} \frac{(x_{i} - \bar{x})}{σ_{x}} & = Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} & = 0.9215 \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{(x_i - \bar x)}{\sigma_x} &= Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} &= 0.9215 \end{aligned}$

Lý do thứ hai tại sao phân phối chuẩn thông thường được sử dụng thường xuyên là do cách giải thích được cung cấp về mặt điểm số Z. Mỗi "quan sát" trong một biến đổi Z là có bao nhiêu độ lệch chuẩn mà quan sát ban đầu chưa được điều chỉnh so với giá trị trung bình. Điều này đặc biệt hữu ích cho các thử nghiệm được tiêu chuẩn hóa trong đó hiệu suất thô hoặc tuyệt đối ít quan trọng hơn hiệu suất tương đối.

(2) Tôi không theo bạn ở đây. Tôi nghĩ bạn có thể nhầm lẫn về ý nghĩa của hàm phân phối tích lũy. Lưu ý rằng giá trị mong đợi của phân phối chuẩn thông thường là 0 và giá trị này tương ứng với giá trị 0,5 trên hàm phân phối tích lũy liên quan.

\begin{aligned} \frac{(x_{i} - \bar{x})}{σ_{x}} & = Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} & = 0,9215 \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{(x_i - \bar x)}{\sigma_x} &= Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} &= 0.9215 \end{aligned}$

— Graham Cookson
nguồn

1

Vì bạn đã nhận được lời giải thích tuyệt vời từ Graham và John, tôi sẽ trả lời câu hỏi cuối cùng của bạn:

Khi mọi người nói về Z Điểm, họ thực sự có ý nghĩa gì ở đây?

Cách tốt nhất để trả lời câu hỏi này là suy nghĩ về câu hỏi này: Các lớp trong lớp CS 101 thường được phân phối với $\mu$ = 80 và $\sigma$ = 5. Điểm z cho lớp 65 là gì?

Vậy: (65-80) / 5 = -3

Bạn có thể nói điểm z cho lớp 65 là -3 ; hay nói cách khác là 3 độ lệch chuẩn sang trái.

— quảng cáo
nguồn