Lợi thế của nhiều mô phỏng ở Monte Carlo lỗi thời?

Tinh thần của câu hỏi này đến từ "Thông thường Monte Carlo", còn được gọi là "Monte Carlo lỗi thời"

Giả sử tôi có một biến ngẫu nhiên , với$X$

$$\mu := E[X]\\ \sigma^2:=Var[X]$$

Cả hai đều là các giá trị không xác định, bởi vì hàm phân phối xác suất của không xác định (hoặc các phép tính là không thể tìm thấy).$X$

Dù bằng cách nào, giả sử chúng ta có thể bằng cách nào đó mô phỏng rút (đây là độc lập và phân phối giống nhau) từ sự phân bố của . Hãy để chúng tôi xác định các tham số mẫu$n$$X_1,X_2,\dots,X_n$$X$

$$\hat{\mu}_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\ \hat{\sigma}_n^2 : = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\hat{\mu}_n)^2$$

Theo Định lý giới hạn trung tâm, khi $n$ trở nên rất lớn, mẫu có nghĩa là $\hat{\mu}_n$ sẽ tuân thủ chặt chẽ một phân phối bình thường

$$\hat{\mu} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$$

Trước khi chúng tôi có thể tính toán khoảng tin cậy, tác giả nói rằng vì chúng tôi không biết , chúng tôi sẽ đưa ra ước tính rằng , hoặc chính xác hơn cho ước tính không thiên vị , và chúng ta có thể tiến hành từ đó bằng cách sử dụng các kỹ thuật tiêu chuẩn.σ 2 ≈ σ 2 σ 2 ≈ $\sigma^2$$\sigma^2 \approx \hat{\sigma}^2$$\sigma^2 \approx \frac{n}{n-1}\hat{\sigma}^2$

Bây giờ, trong khi tác giả đề cập đến tầm quan trọng của đủ lớn ( số lần vẽ trên mỗi mô phỏng), không có đề cập nào về số lượng mô phỏng và ảnh hưởng của nó đến sự tự tin của chúng tôi.$n$

Có bất kỳ lợi thế nào khi chạy mô phỏng (thực hiện vẽ mỗi lần) để có được một số mẫu có nghĩa là , sau đó sử dụng các phương tiện của phương tiện để cải thiện ước tính và độ tin cậy của chúng tôi về của ?n μ n , 1 , μ n , 2 , ... μ n , k μ , σ $k$$n$$\hat{\mu}_{n,1}, \hat{\mu}_{n,2}, \dots \hat{\mu}_{n,k}$$\mu,\sigma$$X$

Hay nó chỉ đủ để vẽ mẫu từ trong một mô phỏng duy nhất, miễn là đủ lớn?X $n$$X$$n$

Miễn là tránh được các vấn đề liên quan đến việc tạo số giả ngẫu nhiên (xem ghi chú ở cuối), hai cách tiếp cận ( mô phỏng với vẽ so với mô phỏng đơn với đủ lớn ) tương đương với ước tính giá trị trung bình . Về bộ nhớ, hãy quan sát rằng, trong trường hợp mô phỏng , bạn cần lưu trữ mẫu có nghĩa là trước khi thực hiện ý nghĩa cuối cùng, trong khi điều này không xảy ra trong kịch bản mô phỏng đơn lẻ. Với các máy tính hiện đại, thực hiện một mô phỏng duy nhất với đủ lớn không nên khó hơn những gì được mô tả trước đây và trên thực tế, sẽ tiết kiệm thời gian.n n k μ n , 1 , ... , μ n , $k$$n$$n$$k$$\hat{\mu}_{n,1}, \dots, \hat{\mu}_{n,k}$$n$

Lý do toán học vượt quá sự tương đương là tuyến tính. Nói chính xác hơn, trong kịch bản mô phỏng , bạn tính toán mẫu "cuối cùng" có nghĩa là như sau trong đó biểu thị vẽ số ở mô phỏng . Việc sắp xếp này là tùy ý nếu không có gì lạ xảy ra, do đó bạn có thể đặt lại nhãn cho mỗi với một chỉ mục mới, giả sử , lấy $k$$\hat{\mu}$ X ( h ) i ihX ( h ) i m=1,...,n

$$\hat{\mu} = \frac{1}{k} \sum_{h=1}^k \hat{\mu}_{n,h} = \frac{1}{k} \sum_{h=1}^k \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X^{(h)}_i = \frac{1}{nk} \sum_{h=1}^k \sum_{i=1}^n X^{(h)}_i$$ $X_i^{(h)}$$i$$h$$X_i^{(h)}$$m=1,\dots,nk$n $$\hat{\mu} = \frac{1}{nk} \sum_{m=1}^{nk} X_m$$ Nhưng điều này tương đương với việc thực hiện một mô phỏng duy nhất với (rõ ràng, các lần rút phải là iid, như đã nhận xét).$nk$

Lưu ý: Các vấn đề tiềm ẩn với PRNG được mô tả trong trang Wikipedia .