Tính toán CDF đã cho

Tôi biết rằng PDF là dẫn xuất đầu tiên của CDF cho một biến ngẫu nhiên liên tục và sự khác biệt cho một biến ngẫu nhiên rời rạc. Tuy nhiên, tôi muốn biết tại sao lại như vậy, tại sao có hai trường hợp khác nhau cho rời rạc và liên tục?

Tôi sẽ có một chút thiếu chính xác, nhưng hy vọng trực quan.

Phân phối xác suất rời rạc và liên tục phải được xử lý khác nhau. Đối với bất kỳ giá trị nào trong một phân phối rời rạc, có một xác suất hữu hạn. Với một đồng tiền công bằng, xác suất của các đầu là 0,5, với một cái chết sáu mặt công bằng, xác suất của 1 là một phần sáu, v.v. Tuy nhiên, xác suất của bất kỳ giá trị cụ thể nào trong phân phối liên tục là 0, bởi vì một giá trị cụ thể là chỉ có một giá trị trong số vô hạn các giá trị có thể và nếu các giá trị cụ thể có xác suất> 0, thì chúng sẽ không tổng hợp tới 1. Do đó, với các phân phối liên tục, chúng tôi nói về xác suất của các phạm vi giá trị.

"Tổng hợp lên" là chìa khóa để trả lời câu hỏi của bạn. Nếu bạn đang ở tất cả quen thuộc với tính toán và lịch sử của nó, bạn hiểu rằng đăng nhập mà không tách rời kéo dài 'S': -là một loại đặc biệt của tổng: một mô tả vụ việc hạn chế như chúng ta tiếp cận tổng hợp một số vô hạn các giá trị vanishingly nhỏ giữa điểm a và b trên một số hàm. Nếu chức năng đó là PDF, chúng ta có thể tích hợp nó (tổng hợp) để tạo CDF và ngược lại phân biệt (khác biệt) CDF để lấy PDF.$\int$$a$$b$

Trong trường hợp rời rạc, chúng tôi chỉ đơn giản là có thể thực hiện tiêu chuẩn tổng số học (do đó, lớn ' ', chứ không phải là cao 'S' ký hiệu) và Differencing số học.$\Sigma$

Sự khác biệt là vì sự thuận tiện và hiểu biết của những người không phải chịu đựng Ph.D. các khóa học lý thuyết cấp độ nơi bạn rút ra và chứng minh "Tích phân liên quan đến Đo đếm" . Điều đó cho thấy thực sự không có sự khác biệt giữa các phân phối rời rạc và liên tục, rằng một tổng thực sự là một tích phân (và như @Alexis đã đề cập, một tích phân về cơ bản là một tổng) và một sự khác biệt thực sự là một đạo hàm (nhìn đơn giản hơn một chút rằng một công cụ phái sinh là một sự khác biệt được thu nhỏ một cách thích hợp).

Sách giáo khoa và các khóa học sẽ đối xử với chúng khác nhau bởi vì việc dạy / hiểu sớm đơn giản hơn là yêu cầu toán học cho thấy không có sự khác biệt.

(Ít nhất là ở cấp độ giới thiệu) mật độ thuật ngữ chỉ đề cập đến các biến ngẫu nhiên liên tục.

Các biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm khối xác suất , đôi khi được gọi là hàm xác suất (pmf hoặc pf, không phải pdf). Điều này không trả về mật độ nhưng xác suất thực tế.

Một số biến ngẫu nhiên không có (hoặc chúng vẫn có cdf).

$F_X(x) = P(X\leq x)$$x$

$P(X\leq x)>P(X<x)$$P(X=x)$$x$$p_X(x)=P(X=x)$

(Trong các phương pháp điều trị tiên tiến hơn, sự khác biệt sẽ biến mất.)

Trên thực tế, bạn có thể xử lý các phân phối liên tục và rời rạc tương tự nhau, nhưng để thực hiện điều này, bạn đã giới thiệu các hàm delta của Dirac, các giới hạn bên trái và các khái niệm "nâng cao" khác.

Vì vậy, cách dễ dàng để trả lời câu hỏi của bạn là CDF rời rạc , không liên tục. Bạn không thể phân biệt nó ở mọi nơi vì điều đó.

Một lần nữa, nếu bạn biết chức năng delta , tất cả đều có thể!