CDF nâng lên một sức mạnh?

Nếu $F_Z$ là CDF, có vẻ như $F_Z(z)^\alpha$ ( $\alpha \gt 0$ ) cũng là CDF.

Q: Đây có phải là một kết quả tiêu chuẩn?

Hỏi: Có cách nào tốt để tìm hàm $g$ với $X \equiv g(Z)$ st $F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ , trong đó $x \equiv g(z)$

Về cơ bản, tôi có một CDF khác trong tay, $F_Z(z)^\alpha$ . Trong một số dạng rút gọn, tôi muốn mô tả biến ngẫu nhiên tạo ra CDF đó.

EDIT: Tôi rất vui nếu tôi có thể nhận được kết quả phân tích cho trường hợp đặc biệt . Hoặc ít nhất biết rằng một kết quả như vậy là khó chữa.$Z \sim N(0,1)$

Tôi thích các câu trả lời khác, nhưng chưa ai đề cập đến những điều sau đây. Sự kiện này xảy ra khi và chỉ khi { m một x ( U , V ) ≤ t } , vì vậy nếu U và V là độc lập và W = m một x ( U , V ) , sau đó F W ( t ) = F U ( t ) $\{U \leq t,\ V\leq t \}$$\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$$U$$V$$W = \mathrm{max}(U,V)$ như vậy cho α một số nguyên dương (nói, α = n ) lấy X = m một x ( Z 1 , . . . Z n ) nơi Z 's là iid$F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$$\alpha$$\alpha = n$$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$$Z$

Với chúng ta có thể chuyển đổi để lấy F Z = F n X , vì vậy X sẽ là biến ngẫu nhiên sao cho tối đa n bản sao độc lập có cùng phân phối với Z (và đây sẽ không phải là một trong những người bạn quen thuộc của chúng ta , nói chung). $\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$$n$$Z$

Trường hợp của một số hữu tỷ dương (giả sử, α = m / n ) xuất phát từ trước đó vì ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m$\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

Đối với là một số vô tỷ, chọn một chuỗi các số hữu tỷ dương a k hội tụ đến α ; thì chuỗi X k (nơi chúng ta có thể sử dụng các thủ thuật trên cho mỗi k ) sẽ hội tụ trong phân phối cho X mong muốn.$\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

Điều này có thể không phải là đặc tính mà bạn đang tìm kiếm, nhưng nó ít nhất đưa ra một số ý tưởng về cách suy nghĩ về cho α phù hợp thoải mái. Mặt khác, tôi không thực sự chắc chắn nó có thể thực sự đẹp hơn bao nhiêu: bạn đã có CDF, vì vậy quy tắc chuỗi cung cấp cho bạn PDF và bạn có thể tính toán các khoảnh khắc cho đến khi mặt trời lặn ...? Đó là sự thật mà hầu hết Z 's sẽ không có một X đó là quen thuộc đối với α = $F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$ , nhưng nếu tôi muốn chơi xung quanh với một ví dụ để tìm kiếm thứ gì đó thú vị, tôi có thể thửZphân bố đồng đều trên khoảng đơn vị vớiF(z)=z,0<z<1.$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

---

EDIT: Tôi đã viết một số bình luận trong câu trả lời @JMS, và có một câu hỏi về số học của tôi, vì vậy tôi sẽ viết ra những gì tôi muốn nói với hy vọng rằng nó rõ ràng hơn.

@cardinal chính xác trong bình luận cho câu trả lời @JMS viết rằng vấn đề đơn giản hoá để hay tổng quát hơn khi Z không nhất thiết phải là N ( 0 , 1 ) , chúng tôi có x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) )

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ Quan điểm của tôi là khi có hàm nghịch đảo đẹp, chúng ta chỉ có thể giải cho hàm y = g ( x ) bằng đại số cơ bản. Tôi đã viết trong bình luận rằng g nên là y = g ( x ) = F - 1 ( F 1 / α ( x ) ) $F$$y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

Chúng ta hãy lấy một trường hợp đặc biệt, cắm mọi thứ vào và xem nó hoạt động như thế nào. Hãy có một (1) phân phối Exp, với CDF F ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , và ngược CDF F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . Thật dễ dàng để cắm mọi thứ vào để tìm g ; sau khi hoàn thành, chúng tôi nhận được y = g ( x ) = $X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ Vì vậy, tóm lại, yêu cầu của tôi là nếu X ∼ E x p ( 1 ) và nếu chúng ta xác định Y = - ln ( 1 - ( 1 - e - X ) 1 / α ) , sau đó Y sẽ có CDF trông giống F Y ( y ) = $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ Chúng ta có thể chứng minh điều này trực tiếp (nhìn vàoP(Y≤y)và sử dụng đại số để có được biểu thức, trong bước tiếp theo, chúng ta cần Chuyển đổi tích phân xác suất). Chỉ trong trường hợp (thường lặp đi lặp lại) rằng tôi bị điên, tôi đã chạy một số mô phỏng để kiểm tra lại xem nó có hoạt động không, ... và nó cũng vậy. Xem bên dưới. Để làm cho mã dễ dàng hơn tôi đã sử dụng hai sự kiện: Nếu  X ~ F  sau đó  U = F ( X ) ~ U n i f ( 0 , 1 $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ $P(Y \leq y)$ $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

Các âm mưu của kết quả mô phỏng sau.

Mã R được sử dụng để tạo âm mưu (trừ nhãn) là

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

Sự phù hợp trông khá tốt, tôi nghĩ? Có lẽ tôi không điên (lần này)?

Bằng chứng không lời

$F$$F^\alpha$$\alpha \lt 1$$z$$x = g(z)$

Q1) Có. Nó cũng hữu ích để tạo các biến được sắp xếp ngẫu nhiên; bạn có thể thấy điều này từ bức ảnh đẹp của @ whuber :).$\alpha>1$ hoán đổi thứ tự ngẫu nhiên.

Đó là một cdf hợp lệ chỉ là vấn đề xác minh các điều kiện cần thiết: $F_z(z)^\alpha$phải là cadlag , không tăng và giới hạn$1$ ở vô cực và $0$ ở vô cực âm. $F_z$ có các tính chất này vì vậy tất cả đều dễ dàng để hiển thị.

Câu 2) Có vẻ như nó sẽ khá khó phân tích, trừ khi $F_Z$ đặc biệt