Tại sao các biến ngẫu nhiên được định nghĩa là hàm?

Tôi đang gặp vấn đề trong việc hiểu khái niệm về một biến ngẫu nhiên là một hàm. Tôi hiểu cơ học (tôi nghĩ) nhưng tôi không hiểu động lực ...

Nói là một bộ ba xác suất, trong đó , là phép đo Borel- trong khoảng đó và là số đo Lebesgue thông thường. Đặt là biến ngẫu nhiên từ đến sao cho , , ..., , do đó có phân phối đồng đều riêng biệt trên các giá trị 1 đến 6. $(\Omega, B, P)$ $\Omega = [0,1]$ $B$ $\sigma$ $P$ $X$ $B$ $\{1,2,3,4,5,6\}$ $X([0,1/6)) = 1$ $X([1/6,2/6)) = 2$ $X([5/6,1]) = 6$ $X$

Điều đó tốt, nhưng tôi không hiểu sự cần thiết của bộ ba xác suất ban đầu ... chúng ta có thể đã trực tiếp xây dựng một cái gì đó tương đương như trong đó là tất cả các hàm phù hợp của không gian và là thước đo gán cho mỗi tập hợp con số đo (# của các phần tử) / 6. Ngoài ra, lựa chọn là tùy ý-- nó có thể là hoặc bất kỳ bộ nào khác. $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$ $S$ $\sigma$ $P_x$ $\Omega=[0,1]$ $[0,2]$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là, tại sao lại phải xây dựng một tùy ý với một hàm số và một số đo, và định nghĩa một biến ngẫu nhiên là một bản đồ từ -đau khớp đến dòng thực? $\Omega$ $\sigma$ $\sigma$

probability random-variable measure-theory

— Leo Vasquez
nguồn

Lưu ý rằng các biến ngẫu nhiên là chức năng từ để , không phải từ để . Yêu cầu là biến ngẫu nhiên có thể đo được đối với .

Ω

$\Omega$

R

$\mathbb{R}$

B

$\mathcal{B}$

R

$R$

B

$\mathcal{B}$

— mpiktas

Câu trả lời:

Nếu bạn đang tự hỏi tại sao tất cả các máy móc này được sử dụng khi một cái gì đó đơn giản hơn có thể đủ - bạn đã đúng, trong hầu hết các tình huống phổ biến. Tuy nhiên, phiên bản lý thuyết đo lường xác suất được Kolmogorov phát triển với mục đích thiết lập một lý thuyết về tính tổng quát đến mức nó có thể xử lý, trong một số trường hợp, không gian xác suất rất trừu tượng và phức tạp. Trên thực tế, nền tảng lý thuyết đo lường của Kolmogorov về xác suất cuối cùng đã cho phép các công cụ xác suất được áp dụng vượt xa phạm vi ứng dụng dự định ban đầu của chúng vào các lĩnh vực như phân tích hài hòa.

Thoạt đầu, có vẻ đơn giản hơn để bỏ qua bất kỳ "cơ sở" -achebra và chỉ đơn giản là gán khối lượng xác suất cho các sự kiện bao gồm không gian mẫu trực tiếp, như bạn đã đề xuất. Thật vậy, các nhà xác suất thực hiện một cách hiệu quả điều tương tự bất cứ khi nào họ chọn làm việc với "thước đo cảm ứng" trên không gian mẫu được xác định bởi . Tuy nhiên, mọi thứ bắt đầu trở nên khó khăn khi bạn bắt đầu đi vào không gian vô hạn. Giả sử bạn muốn chứng minh Luật số lớn đối với trường hợp cụ thể là lật các đồng xu công bằng (nghĩa là tỷ lệ các đầu có xu hướng tùy ý gần bằng 1/2 khi số lần lật đồng xu lên vô cùng). Bạn có thể cố gắng xây dựng một $\sigma$ $\Omega$ $P \circ X^{-1}$ $\sigma$ -bộ số trên tập hợp các chuỗi vô hạn của mẫu . Nhưng ở đây có thể thấy rằng sẽ thuận tiện hơn nhiều khi lấy không gian bên dưới thành ; và sau đó sử dụng các biểu diễn nhị phân của các số thực (ví dụ: ) để biểu diễn các chuỗi lật đồng xu (1 là đầu, 0 là đuôi.) Có thể tìm thấy một minh họa về ví dụ này trong vài chương đầu của Xác suất của Billingsley và Biện pháp . $(H,T,H,...)$ $\Omega = [0,1)$ $0.10100...$

— charles.y.zheng
nguồn

Cảm ơn! Tôi sẽ kiểm tra cuốn sách đó. Tuy nhiên, kể từ khi

là vẫn tùy ý (nó chỉ cũng có thể được

trong ví dụ của bạn, là khoảng thời gian đơn vị hoặc không gian 'ưa thích' mà sẽ làm việc trong mọi hoàn cảnh ? Hoặc có những tình huống mà một phức tạp hơn , như sẽ có lợi?

Ω

$\Omega$

[0, 2)

$[0,2)$

[0, 1]

$[0,1]$

[0, 1)

$[0,1)$

Ω

$\Omega$

R^{2}

$R^2$

— Leo Vasquez

@Leo: Vâng. Các quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục cung cấp một ví dụ. Ví dụ kinh điển là chuyển động Brown, nơi không gian mẫu

được đưa đến là

, không gian của tất cả các chức năng thực có giá trị liên tục.

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— Đức hồng y

@NRH, Có, tôi nên nói có thể được thực hiện thay vì được thực hiện . Tôi đã (phần nào cố ý) cố gắng chải nó dưới tấm thảm.

— Đức hồng y

@cardinal, trong nhận xét của @ Leo, người ta đã hỏi liệu

có được 'ưu tiên' trong mọi trường hợp không. Tôi chỉ nói rằng IMO không có như vậy

và rằng nó là có lợi không yêu cầu bất cứ điều gì về

nói chung. Khi bạn muốn làm việc với một ví dụ cụ thể, có thể có lý do để chọn một cụ

. Tuy nhiên, lưu ý rằng 'tautology' đang càn quét dưới tấm thảm rằng sự tồn tại của chuyển động Brown như một thước đo xác suất trên

cần phải được thiết lập.

[0, 1]

$[0,1]$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— NRH

@NRH, xin lỗi vì sự chậm chạp của tôi hôm nay. Tôi đã không kết nối được tài liệu tham khảo ưa thích với nhận xét trước đây của @ Leo. Cảm ơn. Về nhận xét "tautology", quan điểm của tôi là trong các công trình khác, tính liên tục của các đường dẫn mẫu là một định lý , trong khi, theo cấu trúc dựa trên

với bản đồ nhận dạng, nó là tautological. Tất nhiên, thực tế là BM có thể được xây dựng theo cách này trước tiên phải được hiển thị. Nhưng, đó là một chút bên cạnh điểm.

C

$\mathcal{C}$

— hồng y

Những vấn đề liên quan đến -algebras là tinh tế toán học, mà không thực sự giải thích tại sao hoặc nếu chúng tôi cần một không gian nền . Thật vậy, tôi sẽ nói rằng không có bằng chứng thuyết phục rằng không gian nền là một điều cần thiết. Đối với bất kỳ thiết lập xác suất nơi là không gian mẫu, các -algebra và là một biện pháp xác suất, sự quan tâm là trong , và không có lý do trừu tượng mà chúng tôi muốn là biện pháp hình ảnh của bản đồ đo được $\sigma$ $(E, \mathbb{E}, \mu)$ $E$ $\mathbb{E}$ $\sigma$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ . $X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

Tuy nhiên, việc sử dụng một không gian nền trừu tượng mang lại sự thuận tiện cho toán học khiến nhiều kết quả xuất hiện tự nhiên và trực quan hơn. Mục tiêu là luôn luôn nói điều gì đó về , các phân phối của , nhưng nó có thể được dễ dàng hơn và bày tỏ rõ ràng hơn về . $\mu$ $X$ $X$

Một ví dụ được đưa ra bởi định lý giới hạn trung tâm. Nếu được IID thực có giá trị với trung bình và phương sai các CLT nói rằng $X_1, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$ nơilà hàm phân bố cho phân phối chuẩn chuẩn. Nếu sự phân bố củalàkết quả tương ứng về biện pháp đọc

P (\frac{\sqrt{n}}{σ} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - ξ) \leq x) \to Φ (x)

$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$

Φ

$\Phi$

X_{i}

$X_i$

μ

$\mu$

Một số giải thích về các thuật ngữ là cần thiết Bằng.

chúng ta có nghĩa là

-times chập của

(phân phối của tổng). Các hàm

là các hàm tuyến tính

và

ρ_{\sqrt{n} / σ} \circ τ_{ξ} \circ ρ_{1 / n} (μ^{* n}) ((- \infty, x]) \to Φ (x)

$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$

μ^{* n}

$\mu^{*n}$

n

$n$

μ

$\mu$

ρ_{c}

$\rho_c$

ρ_{c} (x) = c x

$\rho_c(x) = cx$

là bản dịch

. Một người có lẽ có thể quen với công thức thứ hai, nhưng nó làm rất tốt trong việc che giấu tất cả những gì về nó.

τ_{ξ}

$\tau_{\xi}$

τ_{ξ} (x) = x - ξ

$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

Điều có vẻ là vấn đề là các phép biến đổi số học liên quan đến CLT được thể hiện khá rõ ràng dưới dạng các biến ngẫu nhiên nhưng chúng không dịch rất tốt về các biện pháp.

— NRH
nguồn

(+1) Mô tả hay. Tôi nghĩ lý do khác khiến ký hiệu cũ rất phổ biến là nó tự nhiên chuyển thành các khái niệm trực quan trong các ứng dụng. (Được bình chọn cách đây vài giờ.)

— Đức hồng y

@cardinal, cảm ơn vì đã làm cho điểm đó rõ ràng hơn. Có vẻ tự nhiên hơn khi suy nghĩ và tranh luận về một tổng số các biến, không phải là một tổ hợp các biện pháp xác suất, và chúng tôi muốn toán học phản ánh điều đó.

— NRH

Chỉ thời gian gần đây tôi tình cờ qua phương pháp mới này để suy nghĩ về Random Variable cũng như khoảng không gian nền . Tôi không chắc liệu đây có phải là câu hỏi mà bạn đang tìm kiếm không, vì nó không phải là một lý do toán học, nhưng tôi nghĩ rằng nó cung cấp một cách rất gọn gàng để nghĩ về RV. $X$ $\Omega$

Hãy tưởng tượng một tình huống trong đó chúng ta ném một đồng xu. Thiết lập thử nghiệm này bao gồm Tập hợp các điều kiện ban đầu có thể có bao gồm mô tả vật lý về cách tung đồng xu. Không gian nền bao gồm tất cả những điều kiện ban đầu có thể. Đối Tính đơn giản vì chúng ta có thể giả định rằng tung đồng xu chỉ khác nhau về tốc độ, sau đó chúng tôi sẽ thiết lập $\Omega = [0,v_{max}]$

Biến ngẫu nhiên sau đó có thể được coi như là một chức năng mà các bản đồ tất cả các trạng thái ban đầu với kết quả tương ứng của thí nghiệm, tức là cho dù đó là đuôi hoặc đầu. $X$ $\omega \in \Omega$

Đối với RV: số đo sau đó sẽ tương ứng để đo xác suất trong các điều kiện ban đầu, cùng với động lực của thí nghiệm được đại diện bởi $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$ $Q$ $X$ xác định phân phối xác suất trên các kết quả.

Để tham khảo ý tưởng này, bạn có thể xem các chương của Tim Maudlin `hoặc Micheal Strevens trong" Vật lý học vật lý "(2011)

— Sebastian
nguồn