Phát sinh phân phối Poisson bivariate

Gần đây tôi đã gặp phải phân phối Poisson bivariate, nhưng tôi hơi bối rối về cách nó có thể được bắt nguồn.

Phân phối được đưa ra bởi:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Từ những gì tôi có thể thu thập, thuật ngữ $\theta_{0}$ là thước đo tương quan giữa $X$ và $Y$ ; do đó, khi $X$ và $Y$ độc lập, $\theta_{0} = 0$ và phân phối đơn giản trở thành sản phẩm của hai phân phối Poisson đơn biến.

Mang này trong tâm trí, sự nhầm lẫn của tôi được xác về thời hạn tổng kết - Tôi giả định thuật ngữ này giải thích mối tương quan giữa $X$ và $Y$ .

Dường như với tôi, summand tạo thành một số loại sản phẩm của các hàm phân phối tích lũy nhị thức trong đó xác suất "thành công" được đưa ra bởi $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ và xác suất "thất bại" được đưa ra bởi $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , vì $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$, nhưng tôi có thể thoát khỏi điều này.

Ai đó có thể cung cấp một số trợ giúp về cách phân phối này có thể được bắt nguồn? Ngoài ra, nếu nó có thể được bao gồm trong bất kỳ câu trả lời nào, làm thế nào mô hình này có thể được mở rộng sang một kịch bản đa biến (giả sử ba hoặc nhiều biến ngẫu nhiên), điều đó thật tuyệt!

(Cuối cùng, tôi đã lưu ý rằng có một câu hỏi tương tự được đăng trước đó ( Hiểu về phân phối Poisson bivariate ), nhưng đạo hàm không thực sự được khám phá.)

Trong bản trình bày slide , Karlis và Ntzoufras định nghĩa Poisson bivariate là phân phối của trong đó độc lập có phân phối Poisson . Hãy nhớ lại rằng có một phương tiện phân phối như vậyX i θ $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

cho$k=0, 1, 2, \ldots.$

Sự kiện là sự kết hợp rời rạc của các sự kiện$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

với tất cả làm cho cả ba thành phần không âm, từ đó chúng ta có thể suy ra rằng . Bởi vì độc lập xác suất của chúng nhân lên, từ đó0 ≤ i $i$X $0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Đây là một công thức; chúng ta xong rồi. Nhưng để thấy rằng nó tương đương với công thức trong câu hỏi, hãy sử dụng định nghĩa phân phối Poisson để viết các xác suất này theo các tham số và (giả sử cả đều bằng 0) để trông càng nhiều càng tốt như sản phẩm :$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Nếu bạn thực sự muốn - nó có phần gợi ý - bạn có thể diễn đạt lại các thuật ngữ trong tổng bằng cách sử dụng các hệ số nhị thức Và , mang lại$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

chính xác như trong câu hỏi

---

Tổng quát hóa các kịch bản đa biến có thể tiến hành theo nhiều cách, tùy thuộc vào tính linh hoạt cần thiết. Đơn giản nhất sẽ suy nghĩ về việc phân phối

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

đối với các biến thể phân tán Poisson độc lập . Để linh hoạt hơn, các biến bổ sung có thể được giới thiệu. Ví dụ: sử dụng các biến Poisson độc lập và xem xét phân phối đa biến của ,$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

Đây là một cách để rút ra phân phối poisson bivariate.

Đặt là các biến ngẫu nhiên độc lập với các tham số . Sau đó, chúng tôi xác định . Biến , chung cho cả một , làm cho cặp có mối tương quan. Sau đó, chúng ta phải tính toán xác suất khối lượng xác suất:$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
Hy vọng điều này sẽ giúp!