Sự phân bố tỷ lệ của hai biến ngẫu nhiên Poisson là gì?

Tôi có một câu hỏi liên quan đến các biến ngẫu nhiên. Chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta có hai biến ngẫu nhiên và . Giả sử là Poisson được phân phối với tham số và là Poisson được phân phối với tham số . $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

Khi bạn xây dựng phần gãy từ và gọi đây là biến ngẫu nhiên , nó được phân phối như thế nào và có nghĩa là gì? Có phải ? $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— MarkDollar
nguồn

Tôi chỉ tình cờ bắt gặp điều này khi tìm kiếm tài liệu tham khảo. Suy luận về tỷ lệ Poisson khá đơn giản, đối với những người thường xuyên ( Nelson, 1970, "Khoảng tin cậy cho tỷ lệ của hai phương tiện Poisson và khoảng dự đoán Poisson" ) và Bayesian như nhau (Lindley, 1965). Không có vấn đề với mẫu số bằng 0!

— Frank Tuyl

Người hỏi ban đầu và những người khác có thể muốn lưu ý rằng có giá trị kỳ vọng . Tùy thuộc vào ứng dụng của bạn này có thể được sử dụng lớn hơn . Để biết thêm chi tiết, xem bài viết của tôi trên Tạp chí Quang phổ nguyên tử phân tích, 28 , 52, được gọi là "Sai lệch thống kê về tỷ lệ đồng vị" w / DOI: 10.1039 / C2JA10205F.

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

Đây là một vấn đề thường gặp trong Thiên văn học. Giải pháp Bayes đã được Park et al. (2006, Tạp chí Vật lý thiên văn, v652, 610-628, Ước tính tỷ lệ độ cứng của Bayes: Mô hình hóa và tính toán ). Chúng bao gồm ô nhiễm nền trong điều trị của họ.

— dùng78543

Từ bản tóm tắt, không rõ ràng rằng họ đang đối phó với câu hỏi của OP. Làm thế nào để bài báo này liên quan đến phân phối tỷ lệ của hai biến ngẫu nhiên Poisson?

— Andy

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/ Đổi

— kjetil b halvorsen

Câu trả lời:

Tôi nghĩ rằng bạn sẽ có một vấn đề với điều đó. Vì biến Y sẽ có zero, X / Y sẽ có một số giá trị không xác định để bạn không nhận được phân phối.

— hóa đơn_080
nguồn

+1 Đúng vậy. Nhưng (để tránh sự nhầm lẫn có thể xảy ra), vấn đề không chỉ là có thể bằng : nó có thể bằng với xác suất dương. (Ví dụ, một thương của normals không có một bản phân phối mặc dù mẫu số có thể bằng ). Như vậy, là undefined với xác suất tích cực, làm cho ý nghĩa của nó (và bất kỳ thời điểm khác) không xác định là tốt.

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— whuber

+1, nhưng trong tài liệu về tỷ lệ phát hiện sai, mọi người không có vấn đề gì với trong đó là dương thực sự và là tổng số dương :-). Theo quy ước, người ta luôn hiểu rằng 0 trên 0 bằng 0.

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— NRH

@Mark: Có lẽ tốt hơn là hỏi một câu hỏi mới và để có được sự cụ thể thực sự về những gì bạn đang cố gắng đạt được.

— bill_080

@NRH Trong trường hợp của bạn có một sự phụ thuộc mạnh mẽ của trên . Điều đó hoàn toàn thay đổi mọi thứ, bởi vì bây giờ xác suất của tỷ lệ dương: không là không.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber, điều đó tất nhiên là đúng. Cảm ơn đã chỉ ra rằng. Tôi chỉ nghĩ rằng có thể có một số quy ước không có căn cứ để làm cho vấn đề có ý nghĩa. Nhưng từ nhận xét của @ MarkDollar ở trên, có vẻ như đó không phải là trường hợp bắt đầu.

— NRH

Bằng cách nhận ra rằng tỷ lệ trên thực tế không phải là một tập hợp có thể đo lường được xác định rõ, chúng tôi xác định lại tỷ lệ là một tập hợp có thể đo lường chính xác trong đó việc tổng kết diễn ra miễn là và và là các biến Poisson độc lập. Mật độ theo định lý Radon-Nykodym.

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— Aaron Sheldon
nguồn

Giả sử rằng

Y

$Y$ xuất phát từ phân phối Poisson không bị cắt ngắn. Câu trả lời sau đó sẽ là:

— Cân bằng Brash