Trong sự hội tụ trong xác suất hoặc là sự hội tụ wrt, số đo nào là xác suất?

Tôi đã đưa ra bằng chứng về WLLN và một phiên bản của SLLN (giả sử thời điểm trung tâm thứ 4 bị ràng buộc) khi ai đó hỏi biện pháp nào là xác suất với sự tôn trọng và tôi nhận ra rằng, khi phản ánh, tôi không chắc lắm.

Có vẻ như điều đó là đơn giản, vì trong cả hai luật chúng ta có một chuỗi $X_{i}$, RV độc lập với phương sai trung bình và hữu hạn giống hệt nhau. Chỉ có một biến ngẫu nhiên trong tầm nhìn, đó là$X_{i}$, vì vậy xác suất phải được ghi là phân phối của $X_{i}$, đúng? Nhưng sau đó, điều đó có vẻ không đúng đối với luật mạnh vì kỹ thuật chứng minh điển hình là xác định RV mới$S_{n} := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$và làm việc với điều đó, và giới hạn nằm trong xác suất:

$Pr \left[\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i} = E[X_{i}]\right]=1$

Vì vậy, bây giờ có vẻ như RV là tổng số $n$ các điều khoản, vì vậy xác suất là trên sự phân phối của các khoản tiền $S_{n}$, Ở đâu $n$không còn cố định. Đúng không? Nếu đúng như vậy, chúng ta sẽ xây dựng một thước đo xác suất phù hợp như thế nào trên các chuỗi tổng một phần?

Rất vui khi nhận được phản hồi trực quan về những gì đang diễn ra cũng như những phản hồi chính thức bằng cách sử dụng ví dụ phân tích thực hoặc phức tạp, xác suất / thống kê nâng cấp, lý thuyết đo lường cơ bản. Tôi đã đọc Hội tụ xác suất so với hội tụ gần như chắc chắn và các liên kết liên quan, nhưng không tìm thấy sự giúp đỡ nào ở đó.

Các biện pháp xác suất là giống nhau trong cả hai trường hợp, nhưng câu hỏi quan tâm là khác nhau giữa hai. Trong cả hai trường hợp, chúng ta có một chuỗi các biến ngẫu nhiên vô hạn (có thể đếm được) được xác định trên một không gian xác suất duy nhất$(\Omega,\mathscr{F},P)$. Chúng ta lấy$\Omega$, $\mathscr{F}$ và $P$ để trở thành sản phẩm vô hạn trong mỗi trường hợp (cần phải cẩn thận, ở đây, chúng ta đang nói về các biện pháp xác suất vì chúng ta có thể gặp rắc rối nếu không).

Đối với SLLN, điều chúng tôi quan tâm là xác suất (hoặc số đo) của tập hợp tất cả $\omega = (\omega_{1},\omega_{2},\ldots)$trong đó tổng một phần tổng hợp KHÔNG hội tụ. Bộ này có số đo bằng 0 (wrt$P$), SLLN nói.

Đối với WLLN, điều chúng tôi quan tâm là hành vi của chuỗi các biện pháp chiếu $\left(P_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$, nơi cho mỗi $n$, $P_{n}$ là hình chiếu của $P$ lên không gian có thể đo lường hữu hạn $\Omega_{n} = \prod_{i=1}^{n} \Omega_{i}$. WLLN nói rằng xác suất (dự kiến) của các hình trụ (nghĩa là các sự kiện liên quan đến$X_{1},\ldots,X_{n}$), trên đó tổng một phần tỷ lệ không hội tụ, về 0 trong giới hạn là $n$ đi đến vô cùng.

Trong WLLN, chúng tôi đang tính toán các xác suất xuất hiện trong không gian sản phẩm vô hạn, nhưng nó không bao giờ thực sự biến mất - nó đã ở đó suốt. Tất cả những gì chúng tôi đang làm là chiếu lên không gian con từ 1 đến$n$và sau đó lấy giới hạn sau đó. Điều đó là có thể, rằng có thể xây dựng một thước đo xác suất trên một không gian sản phẩm vô hạn sao cho các hình chiếu cho mỗi$n$phù hợp với những gì chúng tôi nghĩ rằng họ nên và làm những gì họ phải làm, là một trong những hậu quả của Định lý mở rộng của Kolmogorov .

Nếu bạn muốn đọc thêm, tôi đã tìm thấy cuộc thảo luận chi tiết nhất về những điểm tinh tế như thế này trong "Lý thuyết xác suất và đo lường" của Ash, Doleans-Dade. Có một vài người khác, nhưng Ash / DD là sở thích của tôi.