Có tương quan khác không ngụ ý sự phụ thuộc?

17

Chúng ta biết rằng thực tế là mối tương quan bằng không không bao hàm sự độc lập. Tôi quan tâm đến việc liệu một mối tương quan khác không có nghĩa là sự phụ thuộc hay không - tức là nếu đối với một số biến ngẫu nhiên và , chúng ta có thể nói chung rằng ? $\text{Corr}(X,Y)\ne0$ $X$ $Y$ $f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

correlation independence

— Comp_War chiến binh
nguồn

13

Vâng, bởi vì

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow Cov (X, Y) \neq 0

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$

\Rightarrow E (X Y) - E (X) E (Y) \neq 0

$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y f_{X, Y} (x, y) d x d y - \int \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$

\Rightarrow \int \int x y [f_{X, Y} (x, y) - f_{X} (x) f_{Y} (y)] d x d y \neq 0

$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$

điều này là không thể nếu . Vì thế $f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

Corr (X, Y) \neq 0 \Rightarrow \exists {x, y} : f_{X, Y} (x, y) \neq f_{X} (x) f_{Y} (y)

$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

Câu hỏi: điều gì xảy ra với các biến ngẫu nhiên không có mật độ?

— Alecos Papadopoulos
nguồn

1

Alecos, tôi có một câu hỏi ngớ ngẩn. Mũi tên ưa thích có nghĩa là gì, ví dụ, dòng 1? Tôi tưởng tượng một cái gì đó như "ngụ ý", nhưng tôi không chắc chắn.

— Sycorax nói Phục hồi lại

2

@ user777 Ý bạn là ? Thật vậy, nó có nghĩa là "ngụ ý".

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Alecos Papadopoulos

Lý do chỉ sử dụng mũi tên hàm ý trong đối số không chính thức: là mũi tên hàm ý liên kết trái hay phải?

— kasterma

\impliestạo ra cái nào trông tốt hơn cái tạo ra .

⟹

$\implies$ \rightarow

\Rightarrow

$\Rightarrow$

— Dilip Sarwate

14

Đặt và các biến ngẫu nhiên sao cho và là hữu hạn. Sau đó, , và đều hữu hạn. $X$ $Y$ $E[X^2]$ $E[Y^2]$ $E[XY]$ $E[X]$ $E[Y]$

Hạn chế sự chú ý của chúng ta đối với các biến ngẫu nhiên như vậy, hãy để biểu thị tuyên bố rằng và là các biến ngẫu nhiên độc lập và tuyên bố rằng và là các biến ngẫu nhiên không tương quan , nghĩa là, . Sau đó, chúng ta biết rằng ngụ ý , nghĩa là các biến ngẫu nhiên độc lập là các biến ngẫu nhiên không tương quan. Thật vậy, một định nghĩa về các biến ngẫu nhiên độc lập là bằng cho tất cả các hàm đo được $A$ $X$ $Y$ $B$ $X$ $Y$ $E[XY] = E[X]E[Y]$ $A$ $B$ $E[g(X)h(Y)]$ $E[g(X)]E[h(Y)]$ $g(\cdot)$ và ). Điều này thường được biểu thị là Nhưng tương đương về mặt logic với , nghĩa là $h(\cdot)$

A ⟹ B .

$A \implies B.$

A ⟹ B

$A \implies B$

\neg B ⟹ \neg A

$\neg B \implies \neg A$

các biến ngẫu nhiên tương quan là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc .

Nếu , hoặc không hữu hạn hoặc không tồn tại, thì không thể nói liệu và có tương quan hay không theo nghĩa cổ điển của các biến ngẫu nhiên không tương quan là những biến mà . Ví dụ, và có thể là các biến ngẫu nhiên Cauchy độc lập (trong đó giá trị trung bình không tồn tại ). Có phải chúng là các biến ngẫu nhiên không tương quan theo nghĩa cổ điển? $E[XY]$ $E[X]$ $E[Y]$ $X$ $Y$ $E[XY] = E[X]E[Y]$ $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
nguồn

3

Điều thú vị về câu trả lời này là nó áp dụng cho dù các biến ngẫu nhiên trong câu hỏi có thừa nhận hàm mật độ hay không, trái ngược với các câu trả lời khác trong chuỗi này. Điều này đúng do thực tế là các kỳ vọng có thể được xác định với các tích phân Stieltjes bằng CDF, không đề cập đến mật độ.

— ahfoss

1

Đây là một bằng chứng hoàn toàn hợp lý. Nếu thì nhất thiết , như hai là tương đương. Vì vậy, nếu sau đó . Bây giờ thay thế bằng sự độc lập và bằng sự tương quan. $A\rightarrow B$ $\neg B \rightarrow \neg A$ $\neg B$ $\neg A$ $A$ $B$

Hãy nghĩ về một tuyên bố "nếu núi lửa phun trào sẽ có thiệt hại". Bây giờ hãy nghĩ về một trường hợp không có thiệt hại. Rõ ràng một ngọn núi lửa đã không phun trào hoặc chúng ta sẽ có một sự sụp đổ.

$X,Y$ $X,Y$ $X,Y$

— Tony
nguồn

A ⟹ B

$A \implies B$

\neq B ⟹ \neg A

$\neq B \implies \neg A$

@DilipSarwate Đã chỉnh sửa để phản ánh điều đó.

— Tony