Chiều rộng thùng tối ưu cho biểu đồ hai chiều

Có rất nhiều quy tắc để chọn chiều rộng thùng tối ưu trong biểu đồ 1D (xem ví dụ )

Tôi đang tìm một quy tắc áp dụng lựa chọn chiều rộng thùng bằng nhau tối ưu trên biểu đồ hai chiều .

Có quy định như vậy? Có lẽ một trong những quy tắc nổi tiếng về biểu đồ 1D có thể dễ dàng điều chỉnh, nếu vậy, bạn có thể cung cấp một số chi tiết tối thiểu về cách thực hiện không?

Lời khuyên của tôi nói chung là nó thậm chí còn quan trọng hơn trong 1-D để làm trơn tru mọi nơi có thể, ví dụ như thực hiện một số thứ như ước tính mật độ hạt nhân (hoặc một số phương pháp khác, như ước tính log-spline), có xu hướng hiệu quả hơn so với sử dụng biểu đồ. Như whuber chỉ ra, hoàn toàn có thể bị đánh lừa bởi sự xuất hiện của biểu đồ, đặc biệt là với một vài thùng và cỡ mẫu nhỏ đến trung bình.

Nếu bạn đang cố gắng tối ưu hóa lỗi bình phương tích hợp (MISE), có nghĩa là có các quy tắc áp dụng ở các kích thước cao hơn (số lượng thùng phụ thuộc vào số lượng quan sát, phương sai, kích thước và "hình dạng"), cho cả ước tính mật độ hạt nhân và biểu đồ.

[Trên thực tế nhiều vấn đề cho người ta cũng là những vấn đề cho người khác, vì vậy một số thông tin trong này bài viết wikipedia sẽ có liên quan.]

Sự phụ thuộc vào hình dạng này dường như ngụ ý rằng để chọn tối ưu, bạn đã cần phải biết những gì bạn đang âm mưu. Tuy nhiên, nếu bạn chuẩn bị đưa ra một số giả định hợp lý, bạn có thể sử dụng những giả định đó (ví dụ: một số người có thể nói "xấp xỉ Gaussian") hoặc cách khác, bạn có thể sử dụng một số công cụ ước tính "trình cắm" phù hợp chức năng.

Wand, 1997 bao gồm trường hợp 1-D. Nếu bạn có thể có được bài viết đó, hãy xem càng nhiều những gì cũng có liên quan đến tình huống ở các chiều cao hơn (cho đến khi các loại phân tích được thực hiện). (Nó tồn tại ở dạng giấy làm việc trên internet nếu bạn không có quyền truy cập vào tạp chí.)$^{[1]}$

Phân tích ở các kích thước cao hơn có phần phức tạp hơn (theo cách tương tự như cách tiến hành từ 1-D đến các kích thước r để ước tính mật độ hạt nhân), nhưng có một thuật ngữ theo chiều hướng đi vào sức mạnh của n.

Sec 3,4 Eqn 3,61 (p83) của Scott, 1992 mang lại cho băng thông tối ưu không có triệu chứng:$^{[2]}$

$h^∗=R(f_k)^{-1/2}\,\left(6\prod_{i=1}^dR(f_i)^{1/2}\right)^{1/(2+d)} n^{−1/(2+d)}$

Trong đó là một thuật ngữ thô (không phải là duy nhất có thể) và tôi tin rằng là đạo hàm của đối với hạn trong .$R(f)=\int_{\mathfrak{R}^d} f(x)^2 dx$$f_i$$f$$i^\text{th}$$x$

Vì vậy, đối với 2D, đề xuất các băng thông co lại là .$n^{−1/4}$

Trong trường hợp các biến thông thường độc lập, quy tắc gần đúng là , trong đó là độ rộng theo chiều , chỉ ra giá trị tối ưu không có triệu chứng, và là độ lệch chuẩn dân số theo chiều .$h_k^*\approx 3.5\sigma_k n^{−1/(2+d)}$$h_k$$k$$*$$\sigma_k$$k$

Đối với bivariate bình thường với tương quan , băng thông là$\rho$

$h_i^* = 3.504 \sigma_i(1-\rho^2)^{3/8}n^{-1/4}$

Khi phân phối bị lệch, hoặc đuôi nặng, hoặc đa phương thức, thường có kết quả là băng thông nhỏ hơn nhiều; do đó, kết quả bình thường thường sẽ ở giới hạn trên tốt nhất trên bindwith.

Tất nhiên, hoàn toàn có thể bạn không quan tâm đến lỗi bình phương tích hợp có nghĩa, nhưng trong một số tiêu chí khác.

[1]: Wand, MP (1997),
"Lựa chọn dựa trên dữ liệu về chiều rộng của biểu đồ",
Thống kê người Mỹ 51 , 59-64

[2]: Scott, DW (1992),
Ước tính mật độ đa biến: Lý thuyết, thực hành và trực quan hóa ,
John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, USA.

Cho rằng bạn có số cố định của dữ liệu (nghĩa là bạn có số lần đọc bằng nhau trên cả hai chiều), bạn có thể sử dụng ngay:$N$

1. Quy tắc căn bậc hai được làm tròn xuống ( ), (tức là cách Excel :))$\sqrt{N}$
2. Quy tắc của Sturges ( ),$\log_2N +1$
3. Một số quy tắc khác chỉ dựa trên số lượng điểm dữ liệu khả dụng (ví dụ: quy tắc của Rick).

Để tìm số lượng thùng phổ biến trên mỗi chiều.$M$

Mặt khác, bạn có thể muốn thử một cái gì đó mạnh mẽ hơn như quy tắc Freedman âm Diaconis , về cơ bản xác định băng thông bằng:$h$

$h= 2 IQR(x) N^{-1/3}$ ,

Trong đó IQR là phạm vi liên dữ liệu của dữ liệu của bạn . Sau đó, bạn tính số lượng thùng dọc theo mỗi chiều bằng:$x$$M$

$M = \lceil (max(x)- min(x))/h \rceil$ .

Bạn làm điều này trên cả hai chiều của dữ liệu của bạn ; việc này cung cấp cho bạn hai, có thể khác nhau, số lượng thùng "nên" được sử dụng trên mỗi chiều. Bạn ngây thơ lấy cái lớn hơn để bạn không "mất" thông tin.$x$

Tuy nhiên, một lựa chọn thứ tư sẽ là cố gắng coi mẫu của bạn là hai chiều, tính toán định mức cho từng điểm mẫu và sau đó thực hiện quy tắc Freedman Thẻ Diaconis theo định mức của mẫu. I E.:

$x_{new} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$

OK, đây là một số mã và một âm mưu cho các thủ tục tôi mô tả:

rng(123,'twister');     % Fix random seed for reproducibility
N = 250;                % Number of points in our sample

A = random('normal',0,1,[N,2]);  % Generate a N-by-2 matrix with N(0,1)
A(:,2) = A(:,2) * 5;             % Make the second dimension more variable


% The sqrt(N) rule:    
nbins_sqrtN = floor(sqrt(N));

% The Sturges formula:    
nbins_str = ceil(log2(N) +1);

% The Freedman–Diaconis-like choice:    
IQRs = iqr(A);              % Get the IQ ranges across each dimension
Hs = 2* IQRs* N^(-1/3);     % Get the bandwidths across each dimension
Ranges = range(A);          % Get the range of values across each dimension
% Get the suggested number of bins along each dimension
nbins_dim1 = ceil(Ranges(1)/Hs(1)); % 12 here
nbins_dim2 = ceil(Ranges(2)/Hs(2)); % 15 here
% Get the maximum of the two
nbins_fd_1 = max( [nbins_dim1, nbins_dim2]);


% The Freedman–Diaconis choice on the norms

Norms = sqrt(sum(A.^2,2));        % Get the norm of each point in th 2-D sample
H_norms = 2* iqr(Norms)* N^(-1/3);% Get the "norm" bandwidth
nbins_fd_2 = ceil(range(Norms)/ H_norms);   % Get number of bins 

[nbins_sqrtN nbins_str nbins_fd_1 nbins_fd_2]

% Plot the results / Make bivariate histograms
% I use the hist3 function from MATLAB
figure(1);
subplot(2,2,1);
hist3(A,[ nbins_sqrtN nbins_sqrtN] );
title('Square Root rule');

subplot(2,2,2);
hist3(A,[ nbins_str nbins_str] );
title('Sturges formula rule');

subplot(2,2,3);
hist3(A,[ nbins_fd_1 nbins_fd_1]);
title('Freedman–Diaconis-like rule');

subplot(2,2,4);
hist3(A,[ nbins_fd_2 nbins_fd_2]);
title('Freedman–Diaconis rule on the norms');

Như những người khác đã lưu ý làm mịn hầu như chắc chắn phù hợp hơn cho trường hợp này (ví dụ: lấy KDE). Tôi hy vọng điều này mang đến cho bạn một ý tưởng về những gì tôi đã mô tả trong nhận xét của mình về việc khái quát hóa trực tiếp (với tất cả các vấn đề có thể xảy ra) của các quy tắc mẫu 1-D đối với quy tắc mẫu 2-D. Đáng chú ý, hầu hết các thủ tục đều giả định một số mức độ "bình thường" trong mẫu. Nếu bạn có một mẫu rõ ràng không được phân phối bình thường (ví dụ: đó là leptokurtotic), quy trình này (ngay cả trong 1-D) sẽ thất bại khá nặng.