Kiểm tra để phân biệt định kỳ với dữ liệu gần như định kỳ

Giả sử tôi có một số chức năng chưa được biết với miền ℝ , mà tôi biết để thực hiện đầy đủ một số điều kiện hợp lý như liên tục. Tôi biết các giá trị chính xác của f (vì dữ liệu đến từ một mô phỏng) tại một số điểm lấy mẫu tương đương t_i = t_0 + iΔt với i∈ \ {1, giật, n \} , mà tôi có thể giả sử là đủ tốt để nắm bắt tất cả các khía cạnh liên quan của f , ví dụ, tôi có thể giả sử rằng có nhiều nhất một điểm cực trị cục bộ của f ở giữa hai điểm lấy mẫu. Tôi đang tìm kiếm một bài kiểm tra đó nói với tôi cho dù tuân dữ liệu của tôi với e là chính xác định kỳ, ví dụ, ∃τ: f (t + τ) = f (t) \, ∀ \, t$f$$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$, với độ dài thời gian có thể cộng hưởng được, ví dụ $Δt < τ < n·Δt$ (nhưng có thể hình dung rằng tôi có thể tạo ra các ràng buộc mạnh hơn, nếu cần).

Từ quan điểm khác, tôi có dữ liệu ${x_0, …, x_n}$ và đang tìm kiếm một bài kiểm tra trả lời câu hỏi liệu hàm tuần hoàn $f$ (đáp ứng các điều kiện như trên) có tồn tại sao cho $f(t_i)=x_i ∀ i$ .

Điểm quan trọng là $f$ ít nhất rất gần với tính tuần hoàn (có thể là ví dụ $f(t) := \sin(g(t)·t)$ hoặc $f(t) := g(t)·\sin(t)$ với $g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ ) đến mức mà thay đổi một điểm dữ liệu bằng một lượng nhỏ có thể đủ để làm cho dữ liệu phù hợp với $f$ là chính xác định kỳ. Do đó, các công cụ tiêu chuẩn để phân tích tần số như biến đổi Fourier hoặc phân tích giao điểm 0 sẽ không giúp ích nhiều.

Lưu ý rằng bài kiểm tra tôi đang tìm kiếm có thể sẽ không có xác suất.

Tôi có một số ý tưởng làm thế nào để tự thiết kế một bài kiểm tra như vậy nhưng muốn tránh phát minh lại bánh xe. Vì vậy, tôi đang tìm kiếm một bài kiểm tra hiện có.

Như tôi đã nói, tôi đã có một ý tưởng làm thế nào để thực hiện điều này, điều mà tôi nhận ra, tinh chỉnh và viết một bài báo, hiện đã được xuất bản: Chaos 25, 113106 (2015) - in lại trên ArXiv .

Tiêu chí được điều tra gần giống như được phác thảo trong câu hỏi: Cho dữ liệu lấy mẫu tại các điểm thời gian , thử nghiệm quyết định xem có hàm và a sao cho:$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ không có cực trị cục bộ hơn chuỗi , ngoại trừ có thể có nhiều nhất là một cực gần với điểm đầu và điểm cuối của .$x$$f$

Thử nghiệm có thể được sửa đổi để giải thích cho các lỗi nhỏ, chẳng hạn như lỗi số của phương pháp mô phỏng.

^{Tôi hy vọng rằng bài báo của tôi cũng trả lời tại sao tôi quan tâm đến một bài kiểm tra như vậy.}

Chuyển đổi dữ liệu thành miền tần số bằng cách sử dụng biến đổi Fourier rời rạc (DFT). Nếu dữ liệu hoàn toàn định kỳ, sẽ có chính xác một thùng tần số có giá trị cao và các thùng khác sẽ bằng 0 (hoặc gần bằng 0, xem rò rỉ quang phổ).

Lưu ý rằng độ phân giải tần số được đưa ra bởi . Vì vậy, điều này đặt giới hạn cho độ chính xác phát hiện.$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

Nếu bạn biết tín hiệu định kỳ thực tế, hãy tính

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

Sau đó tổng hợp các phần tử của . Nếu nó vượt quá ngưỡng (xem xét lỗi từ số học dấu phẩy động) thì dữ liệu không phải là định kỳ.$\text{difference}$