Khoảng dung sai không đối xứng cho các biến rời rạc

Giả sử bạn có một nhóm người đánh giá mức độ họ thích một bộ phim theo tỷ lệ rời rạc từ 1 đến 10 và bạn muốn có một khoảng [ l , u ] sao cho với độ tin cậy (ít nhất) 95%, (ít nhất) 90 % của tất cả những người xem phim sẽ đánh giá nó không thấp hơn l và không cao hơn u . [ l , u ] sau đó là khoảng dung sai (hai mặt) với độ tin cậy 95% và độ bao phủ 90%. (Để rõ ràng, độ tin cậy 95% ngụ ý rằng nếu bạn lặp lại quy trình này nhiều lần, 95% khoảng thời gian được sản xuất sẽ có ít nhất 90% dân số.) Tất nhiên, chúng tôi thường muốn [ l , u ] hẹp như có thể trong khi vẫn đáp ứng yêu cầu của chúng tôi.

Tôi đã thấy các phương pháp không tham số khác nhau để xây dựng các khoảng dung sai cho các biến ngẫu nhiên liên tục. Tôi cũng đã thấy các phương pháp để xây dựng các khoảng dung sai cho các biến nhị thức và Poisson. (Gói R tolerancethực hiện một số phương thức này; Young, 2010) Nhưng còn các biến rời rạc khi phân phối không xác định thì sao? Đây thường là trường hợp đối với các thang đánh giá như trong ví dụ của tôi và giả sử phân phối nhị thức có vẻ không an toàn vì dữ liệu theo thang đánh giá thực thường thể hiện sự kỳ lạ như đa phương thức.

Nó sẽ có ý nghĩa để quay trở lại các phương pháp không tham số cho các biến liên tục? Ngoài ra, điều gì về một phương pháp Monte Carlo như tạo ra 1.000 bản sao bootstrap của mẫu và tìm một khoảng thời gian thu được ít nhất 90% mẫu trong ít nhất 950 bản sao?

Trẻ, DS (2010). dung sai: Một gói R để ước tính khoảng dung sai. Tạp chí phần mềm thống kê, 36 (5), 1 trận39. Lấy từ http://www.jstatsoft.org/v36/i05

$p_1, p_2, ..., p_{10}$

$90\%$

p     = [p1, ..., p10] # empirical proportions summing to 1
l     = 1
u     = length(p)
cover = 0.9

pmass = sum(p)

while (pmass - p[l] >= cover) OR (pmass - p[u] >= cover)
    if p[l] <= p[u]
       pmass = pmass - p[l]
       l     = l + 1  
    else # p[l] > p[u]
       pmass = pmass - p[u]
       u     = u - 1
    end        
end

$l,u$

Cách tiếp cận thứ hai: trực tiếp "tìm kiếm bootstrap"

Dưới đây tôi cung cấp mã Matlab có thể chạy để tiếp cận câu hỏi trực tiếp từ phối cảnh bootstrap (mã không được tối ưu hóa vector).

%% set DGP parameters:
p = [0.35, 0.8, 3.5, 2.2, 0.3, 2.9, 4.3, 2.1, 0.4, 0.2];
p = p./sum(p); % true probabilities

ncat = numel(p);
cats = 1:ncat;

% draw a sample:
rng(1703) % set seed
nsamp = 10^3; 
samp  = datasample(1:10, nsamp, 'Weights', p, 'Replace', true);

Kiểm tra xem điều này có ý nghĩa.

psamp = mean(bsxfun(@eq, samp', cats)); % sample probabilities
bar([p(:), psamp(:)])

Chạy mô phỏng bootstrap.

%% bootstrap simulation:
rng(240947)

nboots = 2*10^3;
cover  = 0.9;
conf   = 0.95;    

tic
Pmat = nan(nboots, ncat, ncat);
for b = 1:nboots

    boot  = datasample(samp, nsamp, 'Replace', true); % draw bootstrap sample    
    pboot = mean(bsxfun(@eq, boot', cats));      

    for l = 1:ncat
        for u = l:ncat
            Pmat(b, l, u) = sum(pboot(l:u));   
        end
    end

end
toc % Elapsed time is 0.442703 seconds.

$[l,u]$$90\%$

conf_mat = squeeze(mean(Pmat >= cover, 1))

     0         0         0         0         0         0         0    1.0000    1.0000    1.0000
     0         0         0         0         0         0         0    1.0000    1.0000    1.0000
     0         0         0         0         0         0         0    0.3360    0.9770    1.0000
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0

Chọn những người đáp ứng desideratum tự tin.

[L, U] = find(conf_mat >= conf);
[L, U]

 1     8
 2     8
 1     9
 2     9
 3     9
 1    10
 2    10
 3    10

Tự thuyết phục rằng phương pháp bootstrap trên là hợp lệ

Các mẫu Bootstrap được dự định là độc lập cho một cái gì đó chúng tôi muốn có, nhưng không, tức là: mới, độc lập rút ra từ dân số cơ bản thực sự (ngắn: dữ liệu mới).

Trong ví dụ mà tôi đã đưa ra, chúng tôi biết quy trình tạo dữ liệu (DGP), do đó chúng tôi có thể "gian lận" và thay thế các dòng mã liên quan đến các mẫu lại bootstrap bằng các bản vẽ mới, độc lập từ DGP thực tế.

newsamp = datasample(cats, nsamp, 'Weights', p, 'Replace', true);
pnew    = mean(bsxfun(@eq, newsamp', cats));

Sau đó, chúng ta có thể xác nhận cách tiếp cận bootstrap bằng cách so sánh nó với lý tưởng. Dưới đây là kết quả.

Ma trận độ tin cậy từ dữ liệu mới, độc lập rút ra:

     0         0         0         0         0         0         0    1.0000    1.0000    1.0000
     0         0         0         0         0         0         0    1.0000    1.0000    1.0000
     0         0         0         0         0         0         0    0.4075    0.9925    1.0000
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
     0         0         0         0         0         0         0         0         0         0

$95\%$

 1     8
 2     8
 1     9
 2     9
 3     9
 1    10
 2    10
 3    10

Chúng tôi thấy rằng các ma trận độ tin cậy đồng ý chặt chẽ và các giới hạn là giống hệt nhau ... Do đó xác nhận cách tiếp cận bootstrap.