Làm thế nào để tính khoảng tin cậy của giá trị trung bình của phương tiện?

Hãy tưởng tượng rằng bạn lặp lại một thí nghiệm ba lần. Trong mỗi thí nghiệm, bạn thu thập các phép đo ba lần. Các bộ ba có xu hướng khá gần nhau, so với sự khác biệt giữa ba phương tiện thử nghiệm. Tính toán có nghĩa là khá dễ dàng. Nhưng làm thế nào người ta có thể tính một khoảng tin cậy cho ý nghĩa lớn?

Dữ liệu mẫu:

Thí nghiệm 1: 34, 41, 39

Thí nghiệm 2: 45, 51, 52

Thí nghiệm 3: 29, 31, 35

Giả sử rằng các giá trị sao chép trong một thử nghiệm tuân theo phân phối Gaussian, cũng như các giá trị trung bình của từng thử nghiệm. SD của biến thể trong một thử nghiệm nhỏ hơn SD trong số các phương tiện thử nghiệm. Giả sử cũng không có thứ tự của ba giá trị trong mỗi thí nghiệm. Thứ tự từ trái sang phải của ba giá trị trong mỗi hàng là hoàn toàn tùy ý.

Cách tiếp cận đơn giản là trước tiên tính giá trị trung bình của từng thí nghiệm: 38.0, 49.3 và 31.7, sau đó tính giá trị trung bình và khoảng tin cậy 95% của ba giá trị đó. Sử dụng phương pháp này, giá trị trung bình lớn là 39,7 với khoảng tin cậy 95% nằm trong khoảng từ 17,4 đến 61,9.

Vấn đề với cách tiếp cận đó là nó hoàn toàn bỏ qua sự khác biệt giữa các bộ ba. Tôi tự hỏi nếu không có một cách tốt để giải thích cho sự thay đổi đó.

Có một khoảng tin cậy chính xác tự nhiên cho grandmean trong ngẫu nhiên một chiều mô hình ANOVA cân bằng Trên thực tế, nó rất dễ dàng để kiểm tra xem sự phân bố của các phương tiện quan sát ˉ y i ∙ là ˉ y i ∙ ~ IID N ( μ , τ 2 ) với τ 2 = σ 2 b + σ 2

$$(y_{ij} \mid \mu_i) \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu_i, \sigma^2_w), \quad j=1,\ldots,J, \qquad \mu_i \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \sigma^2_b), \quad i=1,\ldots,I.$$ $\bar{y}_{i\bullet}$$\bar{y}_{i\bullet} \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \tau^2)$ , và nó cũng được biết rằng giữa tổng bình phươngSSbcó phân phốiSSb~Jτ2χ 2 Tôi - 1 và không phụ thuộc vào tổng thể quan sát bình ˉ y ∙∙~N(μ,τ$\tau^2=\sigma^2_b+\frac{\sigma^2_w}{J}$$SS_b$ $$SS_b \sim J\tau^2\chi^2_{I-1}$$ . Như vậy ˉ y ∙ ∙ - $$\bar y_{\bullet\bullet} \sim {\cal N}(\mu, \frac{\tau^2}{I})$$ có Sinh viên $$\frac{\bar y_{\bullet\bullet} - \mu}{\frac{1}{\sqrt{I}}\sqrt{\frac{SS_b}{J(I-1)}}}$$ $t$ phân phối với bậc tự do, wherefrom nó rất dễ dàng để có được một khoảng tin cậy chính xác về μ .$I-1$$\mu$

Lưu ý rằng khoảng tin cậy này không là gì ngoài khoảng cổ điển đối với trung bình Gaussian bằng cách chỉ xem xét nghĩa của nhóm như các quan sát$\bar{y}_{i\bullet}$. Do đó, cách tiếp cận đơn giản mà bạn đề cập:

Cách tiếp cận đơn giản là trước tiên tính giá trị trung bình của từng thí nghiệm: 38.0, 49.3 và 31.7, sau đó tính giá trị trung bình và khoảng tin cậy 95% của ba giá trị đó. Sử dụng phương pháp này, giá trị trung bình lớn là 39,7 với khoảng tin cậy 95% nằm trong khoảng từ 17,4 đến 61,9.

đúng. Và trực giác của bạn về các biến thể bị bỏ qua:

Vấn đề với cách tiếp cận đó là nó hoàn toàn bỏ qua sự khác biệt giữa các bộ ba. Tôi tự hỏi nếu không có một cách tốt để giải thích cho sự thay đổi đó.

sai. Tôi cũng đề cập đến tính chính xác của việc đơn giản hóa như vậy trong /stats//a/72578/8402

Cập nhật 12/04/2014

Một số chi tiết hiện được viết trên blog của tôi: Giảm một mô hình để có được khoảng tin cậy .

Đây là một câu hỏi về ước tính trong một mô hình hiệu ứng hỗn hợp tuyến tính. Vấn đề là phương sai của giá trị trung bình là tổng của hai thành phần phương sai phải được ước tính riêng (thông qua ANOVA của dữ liệu). Các ước tính có mức độ tự do khác nhau. Do đó, mặc dù người ta có thể cố gắng xây dựng khoảng tin cậy cho giá trị trung bình bằng cách sử dụng các công thức mẫu nhỏ (Student t) thông thường, không có khả năng đạt được phạm vi bảo hiểm danh nghĩa của nó vì độ lệch so với giá trị trung bình sẽ không chính xác theo phân phối của Student t.

Một bài báo gần đây (2010) của Eva Jarosova, Ước tính với Mô hình hiệu ứng hỗn hợp tuyến tính , thảo luận về vấn đề này. (Kể từ năm 2015, nó dường như không còn có sẵn trên Web.) Trong bối cảnh bộ dữ liệu "nhỏ" (thậm chí lớn hơn khoảng ba lần so với dữ liệu này), cô sử dụng mô phỏng để đánh giá hai phép tính CI gần đúng (giếng - Đã biết xấp xỉ Satterthwaite và "phương pháp Kenward-Reller"). Kết luận của cô ấy bao gồm

Nghiên cứu mô phỏng cho thấy chất lượng ước lượng các tham số hiệp phương sai và do đó điều chỉnh khoảng tin cậy trong các mẫu nhỏ có thể khá kém .... Một ước lượng kém có thể ảnh hưởng đến không chỉ mức độ tin cậy thực sự của các khoảng thông thường mà còn có thể làm cho việc điều chỉnh không thể thực hiện được. Rõ ràng là ngay cả đối với dữ liệu cân bằng, ba loại khoảng [thông thường, Satterthwaite, KR] có thể khác nhau đáng kể. Khi quan sát thấy sự khác biệt nổi bật giữa các khoảng thông thường và khoảng điều chỉnh, các lỗi tiêu chuẩn của ước tính tham số hiệp phương sai cần được kiểm tra. Mặt khác, khi sự khác biệt giữa [ba] loại khoảng nhỏ, việc điều chỉnh dường như là không cần thiết.

Nói tóm lại, một cách tiếp cận tốt dường như là

1. Tính toán một CI thông thường bằng cách sử dụng các ước tính của các thành phần phương sai và giả vờ phân phối t được áp dụng.

2. Đồng thời tính toán ít nhất một trong các TCTD đã điều chỉnh.

3. Nếu các tính toán "gần gũi", hãy chấp nhận CI thông thường. Mặt khác, báo cáo rằng không có đủ dữ liệu để tạo ra một CI đáng tin cậy.

Bạn không thể có một khoảng tin cậy giải quyết cả hai vấn đề của bạn. Bạn phải chọn một. Bạn có thể rút ra một từ một thuật ngữ lỗi bình phương trung bình trong phương sai thử nghiệm cho phép bạn nói điều gì đó về mức độ chính xác mà bạn có thể ước tính các giá trị trong thử nghiệm hoặc bạn có thể thực hiện giữa và đó sẽ là giữa các thử nghiệm. Nếu tôi vừa mới thực hiện, tôi có xu hướng muốn vẽ nó quanh 0 thay vì xung quanh nghĩa lớn bởi vì nó không cho bạn biết bất cứ điều gì về giá trị trung bình thực tế, chỉ về một hiệu ứng (trong trường hợp này là 0). Hoặc bạn chỉ có thể vẽ cả hai và mô tả những gì họ làm.

Bạn đã có một xử lý ở giữa một. Đối với bên trong, nó giống như tính toán thuật ngữ lỗi trong ANOVA để MSE hoạt động và từ đó SE cho CI chỉ là sqrt (MSE / n) (n = 3 trong trường hợp này).

Tôi nghĩ rằng CI cho grand mean quá rộng [17,62] ngay cả đối với phạm vi dữ liệu gốc.

Thí nghiệm này RẤT phổ biến trong hóa học. Ví dụ, trong chứng nhận tài liệu tham khảo, bạn phải nhặt một số chai từ toàn bộ một cách ngẫu nhiên, và bạn phải tiến hành phân tích sao chép trên mỗi chai. Làm thế nào để bạn tính toán giá trị tham chiếu và độ không chắc chắn của nó? Có rất nhiều cách để làm điều đó, nhưng cách tinh vi nhất (và chính xác, tôi nghĩ) là áp dụng phân tích tổng hợp hoặc ML (Dersimonia-Laird, Vangel-Rukhin, v.v.)

Những gì về ước tính bootstrap?