Tôi đã cố gắng mô phỏng việc tiêm các điểm ngẫu nhiên trong một vòng tròn, sao cho bất kỳ phần nào của vòng tròn đều có cùng xác suất có khiếm khuyết. Tôi dự kiến ​​số lượng trên mỗi khu vực của phân phối kết quả sẽ tuân theo phân phối Poisson nếu tôi chia vòng tròn thành các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau.

Vì nó chỉ yêu cầu đặt các điểm trong một khu vực hình tròn, tôi đã tiêm hai phân phối ngẫu nhiên thống nhất theo tọa độ cực: $R$ (bán kính) và (góc cực).$\theta$

Nhưng sau khi thực hiện tiêm này, tôi rõ ràng nhận được nhiều điểm hơn ở trung tâm của vòng tròn so với cạnh.

Điều gì sẽ là cách chính xác để thực hiện tiêm này trên vòng tròn sao cho các điểm được phân phối ngẫu nhiên trên vòng xoáy?

Bạn muốn tỷ lệ điểm được tỷ lệ đồng đều với diện tích hơn là khoảng cách đến điểm gốc. Vì diện tích tỷ lệ với khoảng cách bình phương, tạo ra bán kính ngẫu nhiên đồng nhất và lấy căn bậc hai của chúng. Kết hợp điều đó với một góc cực đồng đều.

Đây là cách nhanh chóng và đơn giản để viết mã, thực thi hiệu quả (đặc biệt là trên nền tảng song song) và tạo ra chính xác số điểm quy định.

Thí dụ

Đây là Rmã làm việc để minh họa thuật toán.

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Từ chối lấy mẫu có thể được sử dụng. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể lấy mẫu từ phân phối đồng đều 2D và chọn các mẫu thỏa mãn điều kiện đĩa.

Đây là một ví dụ.

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

Tất nhiên, tôi cũng sẽ cung cấp cho bạn một câu trả lời n chiều chung phù hợp với trường hợp hai chiều. Trong ba chiều, một tương tự của một đĩa là một thể tích của một quả bóng rắn (hình cầu).

Có hai cách tiếp cận tôi sẽ thảo luận. Một trong số đó tôi sẽ gọi là "chính xác" , và bạn sẽ nhận được một giải pháp hoàn chỉnh với nó trong R. Thứ hai tôi gọi là heuristic , và đó chỉ là ý tưởng, không có giải pháp hoàn chỉnh nào được cung cấp.

Giải pháp "chính xác"

Giải pháp của tôi dựa trên các tác phẩm của Marsaglia và Muller . Về cơ bản, nó xảy ra sao cho vectơ Gaussian được chuẩn hóa theo định mức của nó sẽ cung cấp cho bạn các điểm phân bố đồng đều trên một siêu cầu d chiều:

$d$$1/d$

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Đây là một đoạn mã cho trường hợp 3d, tức là một quả bóng rắn:

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

Cách tiếp cận heuristic

$\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$

$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$

Đây là một giải pháp thay thế trong R:

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")