27-10-2014: Thật không may (đối với tôi là vậy), không ai đã đóng góp câu trả lời ở đây - vì nó trông giống như một vấn đề lý thuyết kỳ lạ, "bệnh hoạn" và không có gì nữa?
Vâng để trích dẫn một nhận xét cho người dùng Hồng y (mà sau đó tôi sẽ khám phá)
"Đây là một ví dụ vô lý, nhưng đơn giản. Ý tưởng là để minh họa chính xác những gì có thể sai và tại sao. Nó có các ứng dụng thực tế (nhấn mạnh của tôi). Ví dụ: Hãy xem xét mô hình iid điển hình với khoảnh khắc thứ hai hữu hạn. Hãy trong đó độc lập với
và mỗi cái có xác suất và bằng không, với tùy ý. Sau đó, không thiên vị, có phương sai giới hạn bên dưới bởi và gần như chắc chắn (nó rất phù hợp). Tôi rời đi như một bài tập về trường hợp thiên vị ". Zn ˉ X nZn=±mộtnθ^n=X¯n+ZnZnX¯nZn=±an một > 0 θ n một 2 θ n → L1/n2a>0θ^na2θ^n→μ
Biến ngẫu nhiên maverick ở đây là , vì vậy hãy xem chúng ta có thể nói gì về nó.
Biến có hỗ trợ với xác suất tương ứng . Nó là đối xứng quanh không, vì vậy chúng ta có { - a n , 0 , a n } { 1 / n 2 , 1 - 2 / n 2 , 1 / n 2 }Zn
{−an,0,an}{1/n2,1−2/n2,1/n2}
E(Zn)=0,Var(Zn)=(−an)2n2+0+(an)2n2=2a2
Những khoảnh khắc này không phụ thuộc vào nên tôi đoán chúng ta được phép viết một cách tầm thườngn
limn → ∞E( Zn) = 0 ,limn → ∞Var ( Zn) = 2 a2
Trong Asymptotics của Poor Man, chúng ta biết một điều kiện để giới hạn của các khoảnh khắc bằng với các khoảnh khắc phân phối giới hạn. Nếu khoảnh khắc thứ của phân phối trường hợp hữu hạn hội tụ đến một hằng số (như trường hợp của chúng ta), thì, nếu hơn nữa,r
∃ δ> 0 : lim sup E( | Zn|r + δ) < ∞
giới hạn của thời điểm thứ sẽ là thời điểm thứ của phân phối giới hạn. Trong trường hợp của chúng tarrr
E( | Zn|r + δ) = | - một n |r + δn2+ 0 + | một n |r + δn2= 2 ar + δ⋅ nr + δ- 2
Đối với , phân kỳ này cho bất kỳ , do đó điều kiện đủ này không giữ cho phương sai (nó giữ cho giá trị trung bình).
Thực hiện theo cách khác: phân phối tiệm cận của gì? CDF của hội tụ thành CDF không suy biến ở giới hạn không?δ > 0 Z n Z nr ≥ 2δ> 0
ZnZn
Nó không giống như vậy: hỗ trợ giới hạn sẽ là (nếu chúng tôi được phép viết điều này) và xác suất tương ứng . Hình như là một hằng số đối với tôi.
Nhưng nếu chúng ta không có phân phối giới hạn ở nơi đầu tiên, làm thế nào chúng ta có thể nói về những khoảnh khắc của nó? { 0 , 1 , 0 }{ - ∞ , 0 , ∞ }{ 0 , 1 , 0 }
Sau đó, quay trở lại công cụ ước tính , vì cũng hội tụ đến một hằng số, có vẻ như ˉ X nθ^nX¯n
θ^n không có phân phối giới hạn (không tầm thường), nhưng nó có phương sai ở giới hạn. Hoặc, có thể phương sai này là vô hạn? Nhưng một phương sai vô hạn với một phân phối liên tục?
Làm thế nào chúng ta có thể hiểu điều này? Nó cho chúng ta biết gì về công cụ ước tính? Sự khác biệt cơ bản, ở giới hạn, giữa và gì? ~ θ n= ˉ X nθ^n= X¯n+ Znθ~n=X¯n