Tại sao phân phối mẫu của phương sai là phân phối chi bình phương?

Tuyên bố

Phân phối mẫu của phương sai mẫu là phân phối chi bình phương với mức độ tự do bằng , trong đó là cỡ mẫu (với điều kiện là biến quan tâm ngẫu nhiên thường được phân phối).$n-1$$n$

Nguồn

Trực giác của tôi

Nó có ý nghĩa trực quan với tôi 1) bởi vì một bài kiểm tra chi bình phương trông giống như một tổng bình phương và 2) bởi vì phân phối Chi bình phương chỉ là một tổng phân phối bình thường. Nhưng tôi vẫn không hiểu rõ về nó.

Câu hỏi

Là tuyên bố đúng? Tại sao?

[Tôi sẽ giả từ các cuộc thảo luận trong câu hỏi của bạn rằng bạn đang hạnh phúc đến cũng phải thừa nhận rằng nếu được độc lập phân phối hệt N ( 0 , 1 ) các biến ngẫu nhiên sau đó Σ k i = 1 Z 2 i ~ χ 2 k .]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Chính thức, kết quả bạn cần theo định lý của Cochran . (Mặc dù nó có thể được hiển thị theo những cách khác)

Ít chính thức hơn, hãy xem xét rằng nếu chúng ta biết ý nghĩa dân số và ước tính phương sai về nó (chứ không phải về ý nghĩa mẫu): , sau đólà 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , (Zi=(Xi-μ)/σ) sẽ là$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ lần mộtbiến ngẫu nhiênχ 2 n .$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

$Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$$\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$