Tỷ lệ phân phối độc lập nào cho phân phối bình thường?

Tỷ lệ của hai phân phối bình thường độc lập cho phân phối Cauchy. Phân phối t là phân phối chuẩn chia cho phân phối chi bình phương độc lập. Tỷ lệ của hai phân phối chi bình phương độc lập cho phân phối F.

Tôi đang tìm kiếm một tỷ lệ phân phối liên tục độc lập cung cấp cho một biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình $\mu$ và phương sai $\sigma^2$ ?

Có lẽ có một bộ vô số các câu trả lời có thể. Bạn có thể cho tôi một số trong những câu trả lời có thể? Tôi đặc biệt đánh giá cao nếu hai phân phối độc lập có tỷ lệ được tính là giống nhau hoặc ít nhất có phương sai tương tự nhau.

Hãy nơiEcó phân phối mũ với trung bình2σ2vàZ=±1với xác suất bằng nhau. HãyY2=1/$Y_1 = Z \sqrt{E}$$E$$2 \sigma^2$$Z = \pm 1$ nơiB~Beta(0,5,0,5). Giả sử(Z,E,B)là độc lập lẫn nhau, sau đóY1không phụ thuộc vàoY2vàY1/Y2~Bình thường(0,σ2). Do đó chúng ta có$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$$(Z, E, B)$$Y_1$$Y_2$$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

1. độc lập với Y 2 ;$Y_1$$Y_2$
2. Cả hai liên tục; như vậy mà
3. $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$ .

Tôi chưa tìm ra cách để có được một . Đó là khó khăn hơn để xem làm thế nào để làm điều này kể từ khi vấn đề giảm để việc tìm kiếm Một và B là độc lập như vậy Một - B $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$$A$$B$ khó hơn một chút so với tạoA/B∼Bình thường(0,1)choAvàBđộc lập.

$$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$$ $A/B \sim \text{Normal}(0,1)$$A$$B$

Tôi đặc biệt đánh giá cao nếu hai phân phối độc lập có tỷ lệ được tính là như nhau 

Có không khả năng rằng một biến bình thường có thể được viết dưới dạng tỉ số của hai biến độc lập với cùng phân phối hoặc gia đình phân phối (ví dụ như F-phân phối đó là tỷ số của hai quy mô $\chi^2$ biến phân phối hoặc Cauchy-phân phối đó là tỷ lệ của hai biến phân phối bình thường với giá trị trung bình bằng 0).

• Giả sử rằng: đối với bất kỳ $A, B \sim F$ nơi $F$ là phân phối hoặc phân phối cùng gia đình chúng tôi có

  $$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Chúng ta cũng phải có khả năng đảo ngược $A$ và $B$ (nếu một biến bình thường có thể được viết dưới dạng tỷ lệ của hai biến độc lập có cùng phân phối hoặc họ phân phối thì thứ tự có thể được đảo ngược)

  $$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Nhưng nếu $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ sau đó $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ không thể là sự thật (nghịch đảo của một biến phân phối bình thường là không một biến phân phối bình thường).

---

Kết luận rộng hơn: Nếu các biến trong bất kỳ họ phân phối $\mathcal{F}_X$ có thể được viết dưới dạng tỷ lệ của các biến trong một phân phối khác $\mathcal{F}_Y$ thì đó phải là họ $\mathcal{F}_X$ được đóng theo lấy đối ứng (nghĩa là đối với bất kỳ biến nào có phân phối $\mathcal{F}_X$ phân phối đối ứng của nó cũng sẽ nằm trong $\mathcal{F}_X$ ).

Ví dụ: nghịch đảo của một biến phân phối Cauchy cũng được phân phối Cauchy. Nghịch đảo của biến phân phối F cũng được phân phối F.

• Điều này 'nếu' không phải là 'iff', điều ngược lại là không đúng. Khi $X$ và $1/X$ ở cùng một họ phân phối thì không phải lúc nào cũng có thể được viết dưới dạng phân phối tỷ lệ với người đề cử và mẫu số từ cùng một họ phân phối.

  Ví dụ: Chúng ta có thể tưởng tượng các gia đình phân phối mà với bất kỳ $X$ nào trong gia đình chúng ta có $1/X$ trong cùng một gia đình nhưng chúng ta không có $P(X=1)=0$ . Đây là mâu thuẫn với thực tế là cho một phân phối tỷ lệ mà mẫu số và đề cử có cùng một phân phối chúng ta phải có $P(X=1) \neq 0$ (và một cái gì đó tương tự có thể được biểu diễn cho các bản phân phối liên tục như không thể thiếu dọc theo dòng X / Y = 1 trong một biểu đồ phân tán của X, Y có mật độ khác không khi X và Y có cùng phân phối và độc lập).

Well, here is one but I will not prove it, only show it in simulation.

Make two beta distributions with equal large shape parameters $\text{Beta}(200,200)$ (here, $n=40,000$), subtract 1/2 from the $x$-values of one of them and call it "numerator." That gives us a PDF that has a maximum range of $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$, but because the shape parameters are so large, we never get to the maximum values of the range. Here is a histogram of an $n=40,000$ "numerator"

Next, we call the second beta distribution "denominator" without subtracting anything, so it has the usual beta distribution range of $(0,1)$ and one of those looks like this

Again, because the shapes are so large, we do not approach the maximum range with the values. Next we plot the quotient $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$ as a PDF with the superimposed normal distribution.

Now in this case the normal distribution result has $\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$ and tests for normality that look like this

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$$

In other words, we cannot prove the ratio is not normal even trying very hard to do so.

Now why? Intuition on my part, which I have in overabundance. Proof left to reader, if any exists (maybe via limit of method of moments, but again that is just intuition).

Hint: If I use only $\text{Beta}(20,20)$ in denominator and $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ in the numerator and I get Student's $t$ with $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

$$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$$

Another hint $\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ Student's $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$$

I imagine there are many possibilities. Here there is one that I can think of. It is known (Zolotarev) that, given $X_1^G,X_2^G$ two standard normal distributed r.v., and $X^C_{\gamma}$ a Cauchy distributed r.v.

$$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$$

Then, by Duality of the Stable distribution, we know that $X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ (where $\gamma$ is the scale parameter of the Cauchy). So you get that the Normal distribution can be a result from a ratio between a Normal and a Cauchy:

$$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$$

for the desired $\mu$ I would just move both distributions to be centred there. (at $\mu$). For the $\sigma$, in the mentioned wikipedia page about ratio distributions, there are the general formulas for the ratio of two normal distributions, you would just need to replace the scale factor of the Cauchy by its inverse value ($\gamma\rightarrow1/\gamma$).