Tại sao tích chập hoạt động?

Vì vậy, tôi biết rằng nếu chúng ta muốn tìm phân phối xác suất của một tổng các biến ngẫu nhiên độc lập , chúng ta có thể tính toán nó từ các phân phối xác suất của và , bằng cách nói $X + Y$ $X$ $Y$

f_{X + Y} (a) = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X, Y} (X = x, Y = a - x) d x = \int_{x = - \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (a - x) d x

$f_{X + Y}(a) = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_{X, Y}(X = x, Y = a - x)~dx = \int_{x = -\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(a - x)~dx$

Theo trực giác, điều này có ý nghĩa, bởi vì nếu chúng ta muốn tìm xác suất để hai biến ngẫu nhiên tổng hợp thành , thì về cơ bản nó là tổng xác suất của tất cả các sự kiện dẫn đến các biến đó tổng hợp thành . Nhưng làm thế nào tôi có thể chính thức chứng minh tuyên bố này? $a$ $a$

probability

— Jessica
nguồn

Câu hỏi hơi khác nhau, nhưng câu trả lời là tương tự .

— Carl

Câu trả lời:

Giải pháp tổng quát hơn xem xét trong đó và không nhất thiết phải độc lập. Chiến lược giải pháp chung cho các vấn đề mà bạn đang tự hỏi PDF đến từ đâu hoặc làm thế nào để biện minh cho nó, là tìm một tích lũy có thể thay vào đó, sau đó phân biệt để giảm CDF thành PDF. $Z = X + Y$ $X$ $Y$

Khá dễ dàng để thấy rằng trong trường hợp đó, trong đó là vùng của mặt phẳng - mà . $F_Z(z) = \mathrm{P}(Z \leq z) = \int \int_R f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ $R$ $x$ $y$ $x + y \leq z$

Đây là khu vực nở màu xanh trong sơ đồ dưới đây. Việc tích hợp vào khu vực này là điều tự nhiên bằng cách chia nó thành các dải - Tôi đã thực hiện nó với các dải dọc nhưng các dải ngang sẽ làm được. Thực tế, tôi kết thúc với một dải cho mỗi phối hợp, từ đến và dọc theo mỗi dải tôi muốn các giá trị không tăng lên trên dòng , vì vậy . $x$ $-\infty$ $\infty$ $y$ $x + y = z$ $y \leq z - x$

z <x + y

Bây giờ chúng ta đã đạt được các giới hạn tích hợp theo và , chúng ta có thể thay thế , như sau, với mục đích làm cho xuất hiện dưới dạng giới hạn trên của . Các phép toán rất đơn giản miễn là bạn hiểu việc sử dụng Jacobian để thay đổi các biến. $x$ $y$ $u=x$ $v=x+y$ $z$ $v$

F_{Z} (z) = = \int_{x = = - \infty}^{x = = \infty} \int_{y = = - \infty}^{y = = z - x} f_{X, Y} (x, y) d x d y = = \int_{v = = - \infty}^{v = = z} \int_{bạn = = - \infty}^{y = = \infty} f_{X, Y} (bạn, v - bạn) d bạn d v

$F_Z(z) = \int_{x = -\infty}^{x=\infty}\int_{y=-\infty}^{y=z-x}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{v = -\infty}^{v=z}\int_{u=-\infty}^{y=\infty}f_{X,Y}(u,v-u)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$

Miễn là đáp ứng một số điều kiện nhất định, chúng ta có thể phân biệt dưới dấu tích phân đối với để có được: $z$

f_{Z} (z) = = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (bạn, z - bạn) d bạn

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(u, z-u)\,\mathrm{d}u$

Điều đó hoạt động ngay cả khi và không độc lập. Nhưng nếu có, chúng ta có thể viết lại mật độ khớp là sản phẩm của hai tỷ lệ cận biên: $X$ $Y$

f_{Z} (z) = = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (bạn) f_{Y} (z - bạn) d bạn

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}f_X(u)f_Y(z-u)\,\mathrm{d}u$

Biến giả có thể không gây hại được viết là nếu muốn. $u$ $x$

Ký hiệu của tôi về các tích phân chính xác theo Phần 6.4 của Geoffrey Grimmett và Dominic Walsh, Xác suất: Giới thiệu , Nhà xuất bản Đại học Oxford, New York, 2000.

— Cá bạc
nguồn

\iint \dots d x d y

$\iint \cdots \mathrm{d}x\,\mathrm{d} y$

x

$x$

y

$y$

\int (\int \dots d x) d y

$\int\left(\int \cdots \mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y$

@whuber, nghĩ về nó, đó chắc chắn là quy ước được áp dụng trong hầu hết mọi sách giáo khoa mà tôi biết (vì vậy việc tích hợp nhiều được tích hợp lồng nhau một cách hiệu quả). Nhưng lướt qua, Grimmett và tiếng Wales "Xác suất: Giới thiệu" hoàn toàn phù hợp với quy ước riêng của họ về cùng một thứ tự bên trái cho cả hai giới hạn và chênh lệch, ví dụ, họ đưa ra !

\int_{u} \int_{v} \int_{w} . . . d u d v d w

$\int_u \int_v \int_w ... du\,dv\,dw$

— Cá bạc

Tôi liên tục thích thú bởi làm thế nào, tại ngã tư của nhiều lĩnh vực, chúng ta tiếp xúc với những quy ước mâu thuẫn. Đó là một trong những niềm vui khi làm việc với những người từ các nền tảng khác nhau.

— whuber

@whuber Tôi biết rằng các quy ước để thiết lập các tích phân thay đổi ồ ạt giữa các quốc gia - bạn sẽ thích điều này từ Tex SE tex.stackexchange.com/a/88961/25866 và tôi muốn nó được mở rộng để bao quát nhiều tích hợp!

— Cá bạc

Tuyên bố là đúng khi và chỉ khi phía bên tay phải hoạt động như mật độ cho ; đó là, $X+Y$

F_{X + Y} (a) = P (X + Y \leq a) = \int_{- \infty}^{a} f_{X + Y} (z) d z = \int_{- \infty}^{a} (\int f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x) d z

$F_{X+Y}(a)=\mathbb{P}(X+Y\le a) = \int_{-\infty}^a f_{X+Y}(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^a \left(\int f_X(x) f_Y(z-x)\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}z$

cho tất cả . Hãy xác minh điều này bằng cách bắt đầu với phía bên tay phải. $a$

Áp dụng Định lý Fubini để thay đổi thứ tự tích hợp và thực hiện thay thế . Yếu tố quyết định của Jacobian của nó là , vì vậy không có thuật ngữ bổ sung nào được đưa ra bởi sự thay đổi các biến này. Lưu ý rằng vì và tương ứng một đối một và khi và chỉ khi , chúng tôi có thể viết lại tích phân là $z = x+y$ $1$ $z$ $y$ $-\infty \lt z \le a$ $-\infty \lt y \lt a-x$

= \int (\int_{- \infty}^{a - x} f_{X} (x) f_{Y} (y) d y) d x .

$=\int \left(\int_{-\infty}^{a-x}f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d}x.$

Theo định nghĩa, đây là tích phân trên của $\mathbb{R}^2$

= = \iint Tôi (x + y \leq một) f_{X} (x) f_{Y} (y) d y d x

$=\iint I(x+y\le a)f_X(x)f_Y(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

Trong đó là hàm chỉ thị của một tập hợp. Cuối cùng, vì và là độc lập, cho tất cả , tiết lộ tích phân chỉ là kỳ vọng $I$ $X$ $Y$ $f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ $(x,y)$

= = \iint Tôi (x + y \leq một) f_{(X, Y)} (x, y) d y d x = = E (Tôi (X + Y \leq một)) = = P (X + Y \leq một),

$=\iint I(x+y\le a)f_{(X,Y)}(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \mathbb{E}(I(X+Y\le a))=\mathbb{P}(X+Y\le a),$

như mong muốn.

Tổng quát hơn, ngay cả khi một hoặc cả hai hoặc không có chức năng phân phối, chúng ta vẫn có thể có được $X$ $Y$

F_{X + Y} (một) = = E_{X} (F_{Y} (một - X)) = = E_{Y} (F_{X} (một - Y))

$F_{X+Y}(a) = \mathbb{E}_X\left(F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_Y\left(F_X(a-Y)\right)$

trực tiếp từ các định nghĩa cơ bản, sử dụng kỳ vọng của các chỉ số để qua lại giữa xác suất và kỳ vọng và khai thác giả định độc lập để phá vỡ tính toán thành các kỳ vọng riêng biệt đối với và : $X$ $Y$

\begin{aligned} P (X + Y \leq một) & = = E (Tôi (X + Y \leq một)) \\ = = E_{X} (E_{Y} (Tôi (X + Y \leq một)) \\ = = E_{X} (P_{Y} (Y \leq một - X)) \\ = = E_{X} (F_{Y} (một - X)) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{P}(X+Y\le a) &= \mathbb{E}(I(X+Y\le a)) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{E}_Y(I(X+Y\le a)\right) \\ &= \mathbb{E}_X\left(\mathbb{P}_Y(Y\le a-X)\right) \\ &=\mathbb{E}_X(F_Y(a-X)). }$

Điều này bao gồm các công thức thông thường cho các biến ngẫu nhiên rời rạc, ví dụ, mặc dù ở dạng hơi khác so với thông thường (vì nó được nêu trong các điều khoản của CDF thay vì các hàm khối lượng xác suất).

Nếu bạn có một định lý đủ mạnh về việc thay thế các đạo hàm và tích phân, bạn có thể phân biệt cả hai mặt liên quan đến để có được mật độ trong một nét, $a$ $f_{X+Y}$

\begin{aligned} f_{X + Y} (một) & = = \frac{d}{d một} F_{X + Y} (một) = = E_{X} (\frac{d}{d một} F_{Y} (một - X)) = = E_{X} (f_{Y} (một - X)) \\ = = \int f_{X} (x) f_{Y} (một - x) d x . \end{aligned}

$\eqalign{ f_{X+Y}(a) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_{X+Y}(a) =\mathbb{E}_X\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} F_Y(a-X)\right) = \mathbb{E}_X \left(f_Y(a-X)\right) \\ &= \int f_X(x) f_Y(a-x) \,\mathrm{d} x. }$

— whuber
nguồn