Thông thường lý thuyết xác suất được dạy với các tiên đề của Koleimorov. Do Bayes cũng chấp nhận tiên đề của Kolmogorov?

Theo tôi, việc giải thích xác suất Cox-Jaynes cung cấp một nền tảng nghiêm ngặt cho xác suất Bayes:

• Cox, Richard T. "Xác suất, tần suất và kỳ vọng hợp lý." Tạp chí vật lý Mỹ 14.1 (1946): 1-13.
• Jaynes, Edwin T. Lý thuyết xác suất: logic của khoa học. Báo chí đại học Cambridge, 2003.
• Beck, James L. "Nhận dạng hệ thống Bayes dựa trên logic xác suất." Kiểm soát cấu trúc và theo dõi sức khỏe 17.7 (2010): 825-847.

Các tiên đề của logic xác suất xuất phát từ Cox là:

1. $\Pr[b|a]\ge0$
2. (P2): $\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$ (hàm phủ định)
3. (P3): (chức năng kết hợp)$\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

Tiên đề P1 - P3 ngụ ý những điều sau đây (Beck, James L. "Nhận dạng hệ thống Bayes dựa trên logic xác suất." Kiểm soát cấu trúc và theo dõi sức khỏe 17.7 (2010): 825-847):

4. (P4): a) ; b) ; c)Pr [ ¯ b | b ∩ c ] = 0 Pr [ b | c ] ∈ [ 0 , 1 $\Pr[b|b\cap c] = 1$$\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$$\Pr[b|c]\in[0,1]$
5. (P5): a) , b) , trong đó có nghĩa là được chứa trong và có nghĩa là tương đương với .Pr [ a | c ∩ ( a ⇔ b ) ] = Pr [ b | c ∩ ( a ⇔ b ) ] a ⇒ b a c a ⇔ b a $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$$\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$$a \Rightarrow b$$a$$c$$a \Leftrightarrow b$$a$$b$
6. (P6):$\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
7. (P7): Giả sử rằng mệnh đề nói rằng một và chỉ một trong các mệnh đề là đúng, thì: b 1 , ... , b $c$$b_1,\ldots,b_N$
   • a) Định lý cận biên:$\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
   • b) Định lý xác suất tổng:$\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
   • c) Định lý Bayes: Với :Pr [ b k | a ∩ c ] = Pr [ a | b k ∩ c ] Pr [ b k | c $k=1,\ldots,N$$\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

Chúng ngụ ý tuyên bố logic của Kolmogorov, có thể được xem như một trường hợp đặc biệt.

Theo cách giải thích của tôi về quan điểm Bayes, mọi thứ luôn luôn (ngầm) dựa trên niềm tin và kiến ​​thức của chúng tôi.

So sánh sau đây được lấy từ Beck (2010): Nhận dạng hệ thống Bayes dựa trên logic xác suất

Quan điểm của Bayes

Xác suất là thước đo tính hợp lý của một tuyên bố dựa trên thông tin được chỉ định.

1. Phân phối xác suất đại diện cho các trạng thái của kiến thức hợp lý về các hệ thống và hiện tượng, không phải là thuộc tính vốn có của chúng.
2. Xác suất của một mô hình là thước đo tính hợp lý của nó so với các mô hình khác trong một tập hợp.
3. Thực tế định lượng sự không chắc chắn do thiếu thông tin mà không có bất kỳ tuyên bố nào rằng đây là do tính ngẫu nhiên vốn có của tự nhiên.

Quan điểm thường xuyên

Xác suất là tần suất xuất hiện tương đối của một sự kiện ngẫu nhiên vốn có trong thời gian dài .

1. Phân phối xác suất là thuộc tính vốn có của các hiện tượng ngẫu nhiên.
2. Phạm vi giới hạn, ví dụ không có ý nghĩa đối với xác suất của một mô hình.
3. Tính ngẫu nhiên cố hữu được giả định, nhưng không thể được chứng minh.

Cách lấy các tiên đề của Kolmogorov từ các tiên đề ở trên

Sau đây, phần 2.2 của [Beck, James L. "Nhận dạng hệ thống Bayes dựa trên logic xác suất." Kiểm soát cấu trúc và theo dõi sức khỏe 17.7 (2010): 825-847.] Được tóm tắt:

Trong phần sau chúng ta sử dụng: thước đo xác suất trên tập con của tập hữu hạn :A $\Pr(A)$$A$$X$

1. [K1]:$\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
2. [K2]:$\Pr(X) = 1$
3. [K3]: nếu và tách rời nhau.Một $\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$$A$$B$

Để lấy được (K1 - K3) từ các tiên đề của lý thuyết xác suất, [Beck, 2010] đã đưa ra mệnh đề nêu rõ và chỉ định mô hình xác suất cho . [Beck, 2010] còn giới thiệu thêm .x ∈ X x Pr ( A ) = Pr [ x ∈ A | π $\pi$$x\in X$$x$$\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

• P1 ngụ ý K1 với vàc = $b=\{x\in A\}$$c=\pi$
• K2 theo sau từ ; P4 (a), và bang mà .π x ∈ $\Pr[x\in X|\pi]=1$$\pi$$x\in X$
• K3 có thể được bắt nguồn từ P6: và tách rời nhau có nghĩa là và là loại trừ lẫn nhau. Do đó, K3:$A$$B$$x\in A$$x\in B$ $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

Sau khi phát triển Lý thuyết Xác suất, cần phải chỉ ra rằng các khái niệm lỏng lẻo trả lời cho tên "xác suất" được đo theo khái niệm được xác định chặt chẽ mà họ đã truyền cảm hứng. Xác suất Bayes "chủ quan" được xem xét bởi Ramsey và de Finetti, người độc lập cho thấy rằng việc định lượng mức độ niềm tin chịu sự ràng buộc của sự so sánh và kết hợp (niềm tin của bạn là mạch lạc nếu không ai có thể tạo ra một cuốn sách tiếng Hà Lan chống lại bạn) là một xác suất.

Sự khác biệt giữa các tiên đề chủ yếu là vấn đề về hương vị liên quan đến những gì nên được xác định và những gì có nguồn gốc. Nhưng tính gây nghiện có thể đếm được là một trong những thứ của Kolmogorov không thể lấy được từ Cox hay Finetti, và đã gây tranh cãi. Một số người Bayes (ví dụ de Finetti & Savage) dừng lại ở chứng nghiện hữu hạn & vì vậy không chấp nhận tất cả các tiên đề của Kolmogorov. Họ có thể đặt phân phối xác suất thống nhất trong các khoảng thời gian vô hạn mà không chính xác. Những người khác theo dõi Villegas cũng giả sử tính liên tục đơn điệu, và có được tính gây nghiện đáng kể từ đó.

Ramsey (1926), "Sự thật và xác suất", trong Ramsey (1931), Những nền tảng của toán học và các tiểu luận logic khác

de Finetti (1931), "Sul ýato soggettivo della probabilità", Fundamenta Mathicalæ , 17 , tr 298 - 329

Villegas (1964), "Về xác suất định tính -achebras", Ann. Môn Toán. Thống kê. , 35 , 4.$\sigma$