Phân phối xác suất cho một sóng hình sin ồn ào

Tôi đang tìm cách phân tích xác suất phân phối xác suất của các điểm lấy mẫu từ hàm dao động khi có một số lỗi đo lường. Tôi đã tính phân phối xác suất cho phần "không có tiếng ồn" (tôi sẽ đặt phần này ở cuối), nhưng tôi không thể tìm ra cách bao gồm "tiếng ồn".

Ước tính số

Để rõ ràng hơn, hãy tưởng tượng có một số hàm mà bạn chọn ngẫu nhiên các điểm trong một chu kỳ; nếu bạn bin các điểm trong biểu đồ, bạn sẽ nhận được một cái gì đó liên quan đến phân phối.$y(x) = \sin(x)$

Không có tiếng ồn

Ví dụ ở đây là và biểu đồ tương ứng$sin(x)$

Với tiếng ồn

Bây giờ nếu có một số lỗi đo lường thì nó sẽ thay đổi hình dạng của biểu đồ (và do đó tôi nghĩ rằng phân phối cơ bản). Ví dụ

Tính toán phân tích

Vì vậy, hy vọng tôi đã thuyết phục bạn rằng có một số khác biệt giữa hai điều này, bây giờ tôi sẽ viết ra cách tôi tính toán trường hợp "không có tiếng ồn":

Không có tiếng ồn

$$y(x) = \sin(x)$$

Sau đó, nếu thời gian mà chúng tôi lấy mẫu được phân phối đồng đều thì phân phối xác suất cho phải thỏa mãn:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

sau đó kể từ

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

và vì thế

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

mà với chuẩn hóa phù hợp phù hợp với biểu đồ được tạo ra trong trường hợp "không nhiễu".

Với tiếng ồn

Vì vậy, câu hỏi của tôi là: làm thế nào tôi có thể phân tích tiếng ồn trong phân phối? Tôi nghĩ rằng đó là một cái gì đó giống như kết hợp các bản phân phối một cách thông minh, hoặc bao gồm cả tiếng ồn trong định nghĩa của , nhưng tôi không có ý tưởng và cách để chuyển tiếp nên bất kỳ gợi ý / mẹo hoặc thậm chí đọc khuyến nghị sẽ nhiều đánh giá cao.$y(x)$

Nó phụ thuộc vào cách quá trình tiếng ồn được cấu trúc.

Giả sử rằng tôi đã hiểu tình hình của bạn một cách chính xác, nếu tiếng ồn là phụ gia, độc lập và phân phối giống nhau, bạn sẽ chỉ cần đi chập của mật độ tiếng ồn với mật độ của .$Y$

Nếu là thống nhất ngẫu nhiên trong một chu kỳ, quá trình ồn ào của bạn có điều kiện trên là , là suy biến, với trung bình và phương sai 0. Phân phối biên của là một hỗn hợp đồng nhất của các phân phối suy biến đó ; có vẻ như bạn đã làm việc phân phối chính xác; Hãy gọi mật độ đó là .$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

Ví dụ: nếu tiếng ồn của bạn là , nghĩa là , sau đó là mật độ của tổng nhiễu với hỗn hợp đồng nhất của các biến không nhiễu.$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(phép tích chập này được thực hiện bằng số; tôi không biết tính tích phân đó có thể biến đổi như thế nào trong ví dụ này, vì tôi đã không thử nó.)

Tôi nghĩ rằng biểu thức dẫn xuất cho P (x) bị tắt bởi hệ số hai. Thời gian mẫu phân bố đồng đều tương đương với pha phân phối đồng đều trong khoảng -pi, pi. Hàm lượng giác phân phối xác suất trong khoảng y {-1,1}. Tích hợp P (y) trong khoảng này phải = 1, không phải 2 như thu được bằng cách sử dụng tích phân của bạn ở trên. Tôi nghĩ P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))