Công thức thả xúc xắc (lực không vũ phu)

Trước hết tôi không chắc câu hỏi này nên được đăng ở đâu. Tôi đang hỏi nếu một vấn đề thống kê là NP-Complete và nếu không giải quyết nó theo chương trình. Tôi đang đăng nó ở đây vì vấn đề thống kê là điểm trung tâm.

Tôi đang cố gắng tìm một công thức tốt hơn để giải quyết vấn đề. Vấn đề là: nếu tôi có 4d6 (4 con xúc xắc 6 mặt thông thường) và cuộn tất cả chúng cùng một lúc, loại bỏ một con súc sắc với số thấp nhất (gọi là "thả"), sau đó tổng 3 con còn lại, xác suất của mỗi kết quả có thể là bao nhiêu ? Tôi biết câu trả lời là đây:

Sum (Frequency): Probability
3   (1):         0.0007716049
4   (4):         0.0030864198
5   (10):        0.0077160494
6   (21):        0.0162037037
7   (38):        0.0293209877
8   (62):        0.0478395062
9   (91):        0.0702160494
10  (122):       0.0941358025
11  (148):       0.1141975309
12  (167):       0.1288580247
13  (172):       0.1327160494
14  (160):       0.1234567901
15  (131):       0.1010802469
16  (94):        0.0725308642
17  (54):        0.0416666667
18  (21):        0.0162037037

Trung bình là 12,24 và độ lệch chuẩn là 2,847.

Tôi đã tìm thấy câu trả lời ở trên bằng vũ lực và không biết làm thế nào hoặc nếu có một công thức cho nó. Tôi nghi ngờ vấn đề này là NP-Complete và do đó chỉ có thể được giải quyết bằng vũ lực. Có thể có được tất cả các xác suất của 3d6 (3 con xúc xắc 6 mặt bình thường) sau đó xiên từng cái lên trên. Điều này sẽ nhanh hơn sức mạnh vũ phu bởi vì tôi có một công thức nhanh khi tất cả súc sắc được giữ.

Tôi đã lập trình công thức để giữ tất cả súc sắc trong trường đại học. Tôi đã hỏi giáo sư thống kê của tôi về nó và anh ta tìm thấy trang này , sau đó anh ta giải thích cho tôi. Có một sự khác biệt lớn về hiệu suất giữa công thức này và lực lượng vũ phu: 50d6 mất 20 giây nhưng 8d6 giảm các sự cố thấp nhất sau 40 giây (chrome hết bộ nhớ).

Đây có phải là vấn đề NP-Complete? Nếu có, vui lòng cung cấp bằng chứng, nếu không, vui lòng cung cấp công thức không vũ phu để giải quyết nó.

Lưu ý rằng tôi không biết nhiều về NP-Complete vì vậy tôi có thể nghĩ về NP, NP-Hard hoặc một cái gì đó khác. Bằng chứng cho sự hoàn thiện NP là vô ích đối với tôi lý do duy nhất tại sao tôi yêu cầu nó là để ngăn mọi người đoán. Và xin hãy trần trụi với tôi vì đã lâu rồi tôi mới làm việc này: Tôi không nhớ số liệu thống kê cũng như tôi có thể cần phải giải quyết vấn đề này.

Lý tưởng nhất là tôi đang tìm kiếm một công thức chung hơn cho số xúc xắc X với các cạnh Y khi N trong số chúng bị loại bỏ nhưng bắt đầu với một thứ đơn giản hơn nhiều.

Biên tập:

Tôi cũng thích công thức cho tần số đầu ra nhưng chỉ chấp nhận xác suất đầu ra.

Đối với những người quan tâm, tôi đã lập trình câu trả lời của người viết trong JavaScript trên GitHub của tôi (trong cam kết này chỉ có các thử nghiệm thực sự sử dụng các hàm được xác định).

Giải pháp

Đặt con xúc xắc mỗi con cho cơ hội bằng nhau cho kết quả 1 , 2 , Lọ , d = 6 . Đặt K là giá trị tối thiểu của các giá trị khi tất cả n xúc xắc được ném độc lập.$n=4$$1, 2, \ldots, d=6$$K$$n$

Hãy xem xét sự phân bố của tổng của tất cả giá trị có điều kiện trên K . Gọi X là tổng này. Hàm tạo cho số cách tạo thành bất kỳ giá trị đã cho nào của X , với điều kiện là mức tối thiểu ít nhất là k , là$n$$K$$X$$X$$k$

$$f_{(n,d,k)}(x) = x^k+x^{k+1} + \cdots + x^d = x^k\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}.\tag{1}$$

Do xúc xắc là độc lập, nên hàm tạo cho số cách tạo thành giá trị của trong đó tất cả n súc sắc hiển thị giá trị của k hoặc lớn hơn là$X$$n$$k$

$$f_{(n,d,k)}(x)^n = x^{kn}\left(\frac{1-x^{d-k+1}}{1-x}\right)^n.\tag{2}$$

Hàm tạo này bao gồm các thuật ngữ cho các sự kiện trong đó vượt quá k , vì vậy chúng ta cần trừ chúng đi. Do đó, hàm tạo cho số cách tạo thành giá trị của X , được cho K = k , là$K$$k$$X$$K=k$

$$f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n.\tag{3}$$

Lưu ý rằng tổng của giá trị cao nhất là tổng của tất cả các giá trị trừ đi nhỏ nhất, tương đương với X - K . Do đó, hàm tạo cần được chia cho k . Nó trở thành một hàm tạo xác suất khi nhân với cơ hội chung của bất kỳ tổ hợp xúc xắc nào, ( 1 / d ) n :$n-1$$X-K$$k$$(1/d)^n$

$$d^{-n}\sum_{k=1}^dx^{-k}\left(f_{(n,d,k)}(x)^n - f_{(n,d,k+1)}(x)^n\right).\tag{4}$$

Vì tất cả các sản phẩm và quyền hạn đa thức đều có thể được tính toán trong các phép toán (chúng là các kết quả và do đó có thể được thực hiện với Biến đổi Fourier nhanh rời rạc), nên tổng nỗ lực tính toán là O ( $O(n\log n)$ . Đặc biệt,nó là một thuật toán thời gian đa thức.$O(k\,n\log n)$

---

Thí dụ

Chúng ta hãy làm việc qua ví dụ trong câu hỏi với và d = 6 .$n=4$$d=6$

Công thức cho PGF của X có điều kiện trên K ≥ k cho$(1)$$X$$K\ge k$

$$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x) &= x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ f_{(4,6,2)}(x) &= x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x) &= x^5+x^6 \\ f_{(4,6,6)}(x) &= x^6 \\ f_{(4,6,7)}(x) &= 0. }$$

Nâng chúng lên công suất như trong công thức ( 2 ) tạo ra$n=4$$(2)$

$$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10}+ \cdots + 4x^{23} + x^{24} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} +x^{24}\\ f_{(4,6,6)}(x)^4 &= x^{24}\\ f_{(4,6,7)}(x)^4 &= 0 }$$

Sự khác biệt kế tiếp của chúng trong công thức là$(3)$

$$\eqalign{ f_{(4,6,1)}(x)^4 - f_{(4,6,2)}(x)^4 &= x^4 + 4x^5 + 10 x^6 + \cdots + 12 x^{18} + 4x^{19} \\ f_{(4,6,2)}(x)^4 - f_{(4,6,3)}(x)^4 &= x^8 + 4x^9 + 10x^{10} + \cdots + 4 x^{20} \\ \ldots \\ f_{(4,6,5)}(x)^4 - f_{(4,6,6)}(x)^4 &=x^{20} + 4 x^{21} + 6 x^{22} + 4x^{23} \\ f_{(4,6,6)}(x)^4 - f_{(4,6,7)}(x)^4 &= x^{24}. }$$

Tổng kết quả trong công thức là$(4)$

$$6^{-4}\left(x^3 + 4x^4 + 10x^5 + 21x^6 + 38x^7 + 62x^8 + 91x^9 + 122x^{10} + 148x^{11} + \\167x^{12} + 172x^{13} + 160x^{14} + 131x^{15} + 94x^{16} + 54x^{17} + 21x^{18}\right).$$

Ví dụ: cơ hội mà ba con xúc xắc hàng đầu tổng hợp thành là hệ số x 14 , bằng$14$$x^{14}$

$$6^{-4}\times 160 = 10/81 = 0.123\,456\,790\,123\,456\,\ldots.$$

Đó là hoàn toàn phù hợp với xác suất được trích dẫn trong câu hỏi.

Nhân tiện, giá trị trung bình (theo tính toán từ kết quả này) là và độ lệch chuẩn là$15869/1296 \approx 12.244598765\ldots$.$\sqrt{13\,612\,487/1\,679\,616}\approx 2.8468444$

Một phép tính tương tự (không tối ưu hóa) cho $n=400$ xúc xắc thay vì mất chưa đến nửa giây, hỗ trợ cho sự tranh luận rằng đây không phải là thuật toán đòi hỏi tính toán. Đây là một âm mưu của phần chính của phân phối:$n=4$

Kể từ khi tối thiểu là rất có khả năng để bằng 1 và tổng X sẽ cực kỳ chặt chẽ để có một bình thường ( 400 × 7 / 2 , 400 × 35 / 12 ) phân phối (có nghĩa là 1400 và độ lệch chuẩn là khoảng 34,1565 ), các trung bình phải cực kỳ gần với 1400 - 1 = 1399 và độ lệch chuẩn cực kỳ gần với 34,16 . Điều này mô tả độc đáo cốt truyện, cho thấy nó có khả năng đúng. Trong thực tế, tính toán chính xác cho một ý nghĩa xung quanh$K$$1$$X$$(400\times 7/2, 400\times 35/12)$$1400$$34.1565$$1400-1=1399$$34.16$ lớn hơn 1399 và một độ lệch chuẩn khoảng 1,24 × 10 - 31 ít hơn$2.13\times 10^{-32}$$1399$$1.24\times 10^{-31}$ .$\sqrt{400\times 35/12}$

Chỉnh sửa: @SkySpirus đã gặp sự cố khi công thức dưới đây hoạt động. Hiện tại tôi không có thời gian để tìm hiểu vấn đề là gì, vì vậy nếu bạn đọc nó thì tốt nhất nên tiếp tục với giả định đó là không chính xác.

---

Tôi không chắc chắn về vấn đề chung với số lượng xúc xắc, cạnh và giọt khác nhau, nhưng tôi nghĩ rằng tôi có thể thấy một thuật toán hiệu quả cho trường hợp thả 1. Vòng loại là tôi không hoàn toàn chắc chắn rằng nó đúng, nhưng hiện tại tôi không thể thấy bất kỳ sai sót nào.

Hãy bắt đầu bằng cách không thả bất kỳ con xúc xắc nào. Giả sử đại diện cho cái chết thứ n và giả sử Y n đại diện cho tổng số n xúc xắc. Sau đó$X_n$$n$$Y_n$$n$

$$p(Y_n = a) = \sum_k p(Y_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$$

Bây giờ giả sử là tổng của n xúc xắc khi một người chết bị rơi. Sau đó$Z_n$$n$

$$p(Z_n = a) = p(\text{$n$th die is the smallest})p(Y_{n-1} = a) + \\ p(\text{$n$th die is not the smallest})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k)$$

Nếu chúng ta định nghĩa là phân phối tối thiểu của n chết, thì$M_n$$n$

$$p(Z_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(Y_{n-1} = a | X_n \leq M_{n-1}) + \\ p(X_n > M_{n-1})\sum_k p(Z_{n-1} = a - k)p(X_n=k | X_n > M_{n-1})$$

and we can calculate $M_n$ using

$$p(M_n = a) = p(X_n \leq M_{n-1})p(X_n = a |X_n \leq M_{n-1}) + p(X_n > M_{n-1})p(M_{n-1} = a|X_n > M_{n-1})$$

$Y_n, Z_n$$M_n$$n$

$p(X_n \leq M_{n-1})$$X_n, M_{n-1}$ can each only take on one of six values, we can just sum over all possibilities:

$$p(X_n \leq M_{n-1}) = \sum_{a,b} p(X_n = a, M_{n-1} = b, a \leq b)$$

Similarly, $p(X_n = k | X_n > M_{n-1})$ can be calculated by applying Bayes rule then summing over the possible values of $X_n, M_{n-1}$.

I have a reasonably efficient algorithm for this that, on testing, seems to match results of pure brute force while relying less heavily on enumerating all possibilities. It's actually more generalized than the above problem of 4d6, drop 1.

Some notation first: Let $X_NdY$ indicate that you are rolling $X$ dice with $Y$ faces (integer values $1$ to $Y$), and considering only the highest $N$ dice rolled. The output is a sequence of dice values, e.g. $4_3d6$ yields $3, 4, 5$ if you rolled $1, 3, 4, 5$ on the four dice. (Note that I'm calling it a "sequence," but the order is not important here, particularly since all we care about in the end is the sum of the sequence.)

The probability $P(X_NdY = S)$ (or more specifically, $P(4_3d6 = S)$) is a simplified version of the original problem, where we are only considering a specific set of dice, and not all possible sets that add up to a given sum.

Suppose $S$ has $k$ distinct values, $s_0, s_1, ..., s_k$, such that $s_i > s_{i+1}$, and each $s_i$ has a count of $c_i$. For example, if $S = 3, 4, 4, 5$, then $(s_0,c_0) = (5,1)$, $(s_1,c_1) = (4,2)$, and $(s_2,c_2) = (3,1)$.

You can calculate $P(X_NdY = S)$ in the following way:

$$P(X_NdY = S) = \frac{ \left( \prod_{i=0}^{k-1} {X - \sum_{h=0}^{i-1} c_h \choose c_i} \right) \left( \sum_{j=0}^{X-N} { c_k+X-N \choose c_k+X-N-j} (s_k-1)^j \right)}{ Y^X }$$

That's pretty messy, I know.

The product expression $\prod_{i=0}^{k-1}$ is iterating through all but the lowest of the values in $S$, and calculating all the ways those values may be distributed among the dice. For $s_0$, that's just $X \choose c_i$, but for $s_1$, we have to remove the $c_0$ dice that have already been set aside for $s_0$, and likewise for $s_i$ you must remove $\sum_{h=0}^{i-1}c_h$.

The sum expression $\sum_{j=0}^{X-N}$ is iterating through all the possibilities of how many of the dropped dice were equal to $s_k$, since that affects the possible combinations for the un-dropped dice with $s_k$ as their value.

By example, let's consider $P[4_3d6=(5,4,4)]$:

$$(s_1, c_1) = (5, 1)$$ $$(s_2, c_2) = (4, 2)$$

So using the formula above:

$$P[4_3d6=(5,4,4)] \\ = \frac{ {4 \choose 1} \left( {3 \choose 3} \cdot 3^0 + {3 \choose 2} \cdot 3^1 \right) }{ 6^4 } \\ = \frac{5}{162} = 0.0\overline{308641975}$$

The formula breaks down on a domain issue when $s_k=1$ and $j=0$ in the summation, leading to a first term of $0^0$, which is indeterminate and needs to be treated as $1$. In such a case, a summation is not actually necessary at all, and can be omitted, since all the dropped dice will also have a value of $s_k = 1$.

Now here's where I do need to rely on some brute force. The original problem was to calculate the probability of the sum being some value, and $X_NdY$ represents the individual dice left after dropping. This means you must add up the probabilities for all possible sequences $S$ (ignoring ordering) whose sum is the given value. Perhaps there is a formula to calculate this across all such values of $S$ at once, but I haven't even tried broaching that yet.

I've implemented this in Python first, and the above is an attempt to express it mathematically. My Python algorithm is accurate and reasonably efficient. There are some optimizations that could be made for the case of calculating the entire distribution of $\sum X_NdY$, and maybe I'll do that later.