Tuyên truyền lỗi sử dụng chuỗi Taylor bậc 2

Tôi đang đọc một văn bản, "Thống kê toán học và phân tích dữ liệu" của John Rice. Chúng tôi đang quan tâm đến xấp xỉ giá trị kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên . Chúng ta có thể tính giá trị và phương sai dự kiến của biến ngẫu nhiên và chúng ta biết mối quan hệ . Vì vậy, có thể ước tính giá trị và phương sai dự kiến của bằng cách sử dụng chuỗi mở rộng Taylor của about . $Y$ $X$ $Y = g(X)$ $Y$ $g$ $\mu_X$

Ở trang 162, anh liệt kê 3 phương trình.

Giá trị mong đợi của sử dụng mở rộng chuỗi Taylor bậc 1. Đó là: . Điều này được đề cập sau này trong câu hỏi của tôi là . $Y$ $\mu_Y \approx g(\mu_X)$ $E(Y_1)$
Phương sai của sử dụng mở rộng chuỗi Taylor bậc 1. Đó là: . Điều này được đề cập sau này trong câu hỏi của tôi là . $Y$ $\sigma_Y^2 \approx \sigma_X^2 (g'(\mu_X))^2$ $Var(Y_1)$
Giá trị mong đợi của sử dụng mở rộng chuỗi Taylor bậc 2. Đó là . Điều này được đề cập sau này trong câu hỏi của tôi là . $Y$ $\mu_Y \approx g(\mu_X) + \frac12 \sigma_X^2 g''(\mu_X)$ $E(Y_2)$

Lưu ý rằng có hai biểu thức khác nhau cho $Y$ vì chúng tôi đang sử dụng hai đơn hàng khác nhau trong bản mở rộng chuỗi Taylor. Phương trình 1 và 2 đề cập đến $Y_1 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X)$ . Công thức 3 đề cập đến $Y_2 = g(X) \approx g(\mu_X) + (X-\mu_X)g'(\mu_X) + \frac12 (X-\mu_X)^2 g''(\mu_X)$ .

Lưu ý rằng cụ thể phương trình cho $Var(Y_2)$ không được đưa ra. Sau đó, tác giả dường như sử dụng phương trình cho phương sai của $Y_1$ (Phương trình 2), trong khi thực tế, anh ta đang đề cập đến giá trị mong đợi của $Y_2$ (Phương trình 3). Điều này dường như ngụ ý $Var(Y_2) = Var(Y_1)$ .

Tôi đã cố gắng tính toán bằng tay và tôi nhận được một biểu hiện hơi phức tạp. Đây là công việc của tôi (Tôi đã dừng lại vì cuối cùng tôi nhận được điều khoản trong kỳ vọng): $Var(Y_2)$ $X^3$

\begin{aligned} V a r (Y_{2}) & = E [(g (μ_{X}) + (X - μ_{X}) a + \frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} b - g (μ_{X}) - \frac{1}{2} σ_{X}^{2} b)^{2}] \\ = E [((X - μ_{X}) a + {(\frac{1}{2} (X - μ_{X})^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [(c a + {(\frac{1}{2} c^{2} - \frac{1}{2} σ_{X}^{2}) b)}^{2}] \\ = E [c^{2} a^{2} + c a (c^{2} - σ_{X}^{2}) b + \frac{1}{4} (c^{2} - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \\ = E [(X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) a^{2} + (X - μ_{X}) a ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2}) b \\ + \frac{1}{4} ((X^{2} - 2 X μ_{X} + μ_{X}^{2}) - σ_{X}^{2})^{2} b^{2}] \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(Y_2) &= E[( g(\mu_X) + (X-\mu_X)a + \frac12 (X-\mu_X)^2 b - g(\mu_X) - \frac12 \sigma_X^2 b )^2] \\ &= E\left[((X-\mu_X)a + \left(\frac12 (X-\mu_X)^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ &= E\left[(ca + \left(\frac12 c^2 - \frac12 \sigma_X^2)b\right)^2\right] \\ & = E[c^2 a^2 + ca(c^2 - \sigma_X^2)b + \frac14(c^2-\sigma_X^2)^2 b^2] \\ & = E[(X^2 - 2X \mu_X + \mu_X^2)a^2 + (X-\mu_X)a((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2) - \sigma_X^2)b \\ & + \frac14((X^2 - 2X\mu_X + \mu_X^2)-\sigma_X^2)^2 b^2] \end{aligned}$

Lưu ý rằng trong các phương trình trên, , và . Là gì ? $a = g'(\mu_X)$ $b = g''(\mu_X)$ $c = X-\mu_X$ $Var(Y_2)$

Cảm ơn.

self-study mathematical-statistics error

— thương hiệu
nguồn

Tại sao bạn dừng lại ở ? Bởi vì xấp xỉ bậc hai là một hàm bậc hai của , phương sai của nó thường sẽ liên quan đến các khoảnh khắc của lên tới . Khoảnh khắc thứ ba có thể bằng không, nhưng khoảnh khắc thứ tư chắc chắn sẽ xuất hiện và không bị hủy bỏ bởi bất cứ điều gì.

X^{3}

$X^3$

X

$X$

X

$X$

2 \cdot 2 = 4

$2 \cdot 2 = 4$

— whuber

Giả sử , chúng ta có thể rút ra phương sai gần đúng của bằng cách sử dụng khai triển Taylor bậc hai của về như sau: $Y=g(X)$ $Y$ $g(X)$ $\mu_X=\mathbf{E}[X]$

\begin{array}{rcl} V a r [Y] & = & V a r [g (X)] \\ \approx & V a r [g (μ_{X}) + g^{'} (μ_{X}) (X - μ_{X}) + \frac{1}{2} g^{″} (μ_{X}) (X - μ_{X})^{2}] \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} V a r [(X - μ_{X})^{2}] \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) C o v [X - μ_{X}, (X - μ_{X})^{2}] \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} E [(X - μ_{X})^{4} - σ_{X}^{4}] \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) (E (X^{3}) - 3 μ_{X} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) + 2 μ_{X}^{3}) \\ = & (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} \\ + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} (E [X^{4}] - 4 μ_{X} E [X^{3}] + 6 μ_{X}^{2} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) - 3 μ_{X}^{4} - σ_{X}^{4}) \\ + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) (E (X^{3}) - 3 μ_{X} (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) + 2 μ_{X}^{3}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbf{Var}[Y] &=& \mathbf{Var}[g(X)]\\ &\approx& \mathbf{Var}[g(\mu_X)+g'(\mu_X)(X-\mu_X)+\frac{1}{2}g''(\mu_X)(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{Var}[(X-\mu_X)^2]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mathbf{Cov}[X-\mu_X,(X-\mu_X)^2]\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\mathbf{E}[(X-\mu_X)^4-\sigma_{X}^{4}]\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ &=& (g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}\\ & & +\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2\left(\mathbf{E}[X^4]-4\mu_X\mathbf{E}[X^3]+6\mu_{X}^{2}(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})-3\mu_{X}^{4}-\sigma_{X}^{4}\right)\\ & & +g'(\mu_X)g''(\mu_X)\left(\mathbf{E}(X^3)-3\mu_X(\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2})+2\mu_{X}^{3}\right)\\ \end{eqnarray*}$

Như @whuber chỉ ra trong các ý kiến, điều này có thể được làm sạch lên một chút bằng cách sử dụng những khoảnh khắc trung tâm thứ ba và thứ tư của . Một khoảnh khắc trung tâm được xác định là . Lưu ý rằng . Sử dụng ký hiệu mới này, chúng ta có $X$ $\mu_k=\mathbf{E}[(X-\mu_X)^k]$ $\sigma_{X}^{2}=\mu_2$

V a r [Y] \approx (g^{'} (μ_{X}))^{2} σ_{X}^{2} + g^{'} (μ_{X}) g^{″} (μ_{X}) μ_{3} + \frac{1}{4} (g^{″} (μ_{X}))^{2} (μ_{4} - σ_{X}^{4})

$\mathbf{Var}[Y]\approx(g'(\mu_X))^2\sigma_{X}^{2}+g'(\mu_X)g''(\mu_X)\mu_3+\frac{1}{4}(g''(\mu_X))^2(\mu_4-\sigma_{X}^{4})$

— bất thường
nguồn

Đó là cách tiếp cận đúng, nhưng bạn không quên bao gồm hiệp phương sai giữa và ?

X - μ_{X}

$X-\mu_X$

(X - μ_{X})^{2}

$(X-\mu_X)^2$

— whuber

@whuber Có tôi đã làm. Cảm ơn đã chỉ ra rằng. Tôi sẽ chỉnh sửa điều này sớm.

— giả định

Bạn có thể tự cứu mình một số rắc rối bằng cách viết câu trả lời theo các khoảnh khắc trung tâm thứ hai, thứ ba và thứ tư , , và . Bạn nên lấy .

σ^{2}

$\sigma^2$

μ_{3}

$\mu_3$

μ_{4}

$\mu_4$

σ^{2} g^{'} (μ)^{2} + μ_{3} g^{'} (μ) g^{″} (μ) + \frac{1}{4} (μ_{4} - σ^{4}) g^{″} (μ)^{2}

$\sigma^2 g'(\mu )^2 + \mu_3 g'(\mu ) g''(\mu )+\frac{1}{4} \left(\mu_4-\sigma ^4\right) g''(\mu )^2$

— whuber

@jrand - Lời xin lỗi của tôi. Tôi không nhận ra bạn có điều này trong bài viết gốc của bạn. Tuy nhiên, tôi không xóa bài viết của mình, vì phải mất một thời gian để sắp chữ.

— giả định

@Max, whuber: Cảm ơn bạn đã trả lời và giải thích.

— jrand