Làm thế nào để tìm một giá trị trung bình của một tổng các biến phụ thuộc?

Tôi biết rằng giá trị trung bình của tổng các biến độc lập là tổng phương tiện của từng biến độc lập. Điều này có áp dụng cho các biến phụ thuộc không?

Kỳ vọng (lấy giá trị trung bình) là một toán tử tuyến tính .

Điều này có nghĩa là , trong số những thứ khác, $\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$ cho bất kỳ hai biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ (mà kỳ vọng tồn tại), bất kể chúng có độc lập hay không.

Chúng ta có thể khái quát hóa (ví dụ bằng cách cảm ứng ) để $\mathbb{E}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)$ quá lâu vì mỗi kỳ vọng $\mathbb{E}(X_i)$ tồn tại.

Vì vậy, có, giá trị trung bình của tổng giống như tổng của giá trị trung bình ngay cả khi các biến phụ thuộc. Nhưng lưu ý rằng điều này không áp dụng cho phương sai! Vì vậy, trong khi $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ cho các biến độc lập hoặc thậm chí các biến phụ thuộc nhưng không tương quan , công thức chung là $\mathrm{Var}(X + Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\mathrm{Cov}(X, Y)$ trong đó$\mathrm{Cov}$ làhiệp phương saicủa các biến.

TL; DR:
Giả sử nó tồn tại, giá trị trung bình là một giá trị mong đợi và giá trị mong đợi là một tích phân và các tích phân có thuộc tính tuyến tính đối với các khoản tiền.

TS; DR:
Vì chúng ta đang đối phó với tổng của các biến ngẫu nhiên , tức là một chức năng của nhiều người, giá trị trung bình của tổng E ( Y n ) là đối với họ với doanh phân phối ( chúng tôi giả sử rằng tất cả các phương tiện tồn tại và là hữu hạn) Biểu thị X vectơ đa biến của n rv's, mật độ khớp của chúng có thể được viết là f X ( x ) = f X 1 , . . . , $Y_n = \sum_{i=1}^n X_i$$E(Y_n)$$\mathbf X$$n$ và ủng hộ doanh D = S X 1 × . . . × S X n Sử dụng Địnhluật thống kê vô thức, chúng ta cónhiềutích phân$f_{\mathbf X}(\mathbf x)= f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)$$D = S_{X_1} \times ...\times S_{X_n}$

.

$$E[Y_n] = \int_D Y_nf_{\mathbf X}(\mathbf x)d\mathbf x$$

Trong một số điều kiện đều đặn, chúng ta có thể phân tách nhiều tích phân thành một tích phân -iterative:$n$

$$E[Y_n] = \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}\Big[\sum_{i=1}^n X_i\Big]f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

và sử dụng tuyến tính của tích phân, chúng ta có thể phân tách thành

$$= \int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n \; + ...\\ ...+\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_nf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n$$

Đối với mỗi tích phân -iterative chúng ta có thể sắp xếp lại thứ tự tích hợp sao cho, trong mỗi tích phân bên ngoài đối với biến nằm ngoài mật độ khớp. Cụ thể là$n$

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_n = \\\int_{S_{X_1}}x_1\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_2}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_2...dx_ndx_1$$

and in general

$$\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_j}}...\int_{S_{X_1}}x_jf_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_j...dx_n =$$ $$=\int_{S_{X_j}}x_j\int_{S_{X_n}}...\int_{S_{X_{j-1}}}\int_{S_{X_{j+1}}}...\int_{S_{X_1}}f_{X_1,...,X_n}(x_1,...,x_n)dx_1...dx_{j-1}dx_{j+1}......dx_ndx_j$$

As we calculate one-by-one the integral in each $n$-iterative integral (starting from the inside), we "integrate out" a variable and we obtain in each step the "joint-marginal" distribution of the other variables. Each $n$-iterative integral therefore will end up as $\int_{S_{X_j}}x_jf_{X_j}(x_j)dx_j$.

Bringing it all together we arrive at

$$E[Y_n ] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \int_{S_{X_1}}x_1f_{X_1}(x_1)dx_1 +...+\int_{S_{X_n}}x_nf_{X_n}(x_n)dx_n$$

But now each simple integral is the expected value of each random variable separately, so

$$E[\sum_{i=1}^n X_i] = E(X_1) + ...+E(X_n)$$ $$= \sum_{i=1}^nE(X_i)$$

Note that we never invoked independence or non-independence of the random variables involved, but we worked solely with their joint distribution.