Không biến đổi tương quan: mối tương quan giữa giới tính và kích thước não và giữa kích thước não và IQ, nhưng không có mối tương quan giữa giới tính và IQ

18

Tôi đã tìm thấy một lời giải thích sau đây trên một blog và tôi muốn có thêm thông tin về tính không tương quan:

Chúng tôi có những sự thật không thể chối cãi sau đây:

Trung bình, có sự khác biệt về khối lượng não giữa nam và nữ

Có mối tương quan giữa IQ và kích thước não; tương quan là 0,33 và do đó tương ứng với 10% biến động của IQ

Từ những tiền đề 1 và 2 này, dường như nó đi theo logic từ đó: trung bình phụ nữ có IQ thấp hơn nam giới. Nhưng đó là một ngụy biện! Trong thống kê, mối tương quan không phải là bắc cầu. Bằng chứng là bạn chỉ cần nhìn vào kết quả kiểm tra IQ và chúng cho thấy chỉ số IQ của nam và nữ không khác nhau trung bình.

Tôi muốn hiểu sự không chuyển đổi của mối tương quan này sâu hơn một chút.

Nếu mối tương quan giữa IQ và kích thước não là 0,9 (mà tôi biết đó không phải là (1)), liệu suy luận rằng phụ nữ trung bình có IQ thấp hơn nam giới vẫn sẽ là ngụy biện?

Xin vui lòng, tôi không ở đây để nói về IQ (và giới hạn của bài kiểm tra), phân biệt giới tính, khuôn mẫu phụ nữ, kiêu ngạo và vân vân (2). Tôi chỉ muốn hiểu lý lẽ hợp lý đằng sau ngụy biện.

(1) mà tôi biết không phải là: Người Neanderthal có bộ não lớn hơn người homo sapiens, nhưng không thông minh hơn;

(2) Tôi là phụ nữ và nói chung, tôi không xem xét bản thân mình, hoặc những người phụ nữ khác kém thông minh hơn đàn ông, tôi không quan tâm đến bài kiểm tra IQ, bởi vì giá trị của con người là gì và nó không dựa trên khả năng trí tuệ.

Nguồn gốc bằng tiếng Pháp:

Trên một les lesits bừa bãi tự tử:

il ya une différence de volume cérébral en moyenne entre hommes et femmes

il ya une Corrélation entre QI et volume cérébral; la Corrélation est 0,33 et tương ứng donc à 10% de la variabilité

De Caes prémisses 1 et 2, il semble découler logiquement que: les femmes ont en moyenne un QI inférieur aux hommes.

Mais c'est une erreur de raisonnement! En statistique, les Corrélations ne sont pas trans. La preuve, c'est que pour en avoir le cœur net, il achit de affer les résultats des tests de QI, et ceux-ci montrent que les QI des hommes et des femmes ne diffèrent pas en moyenne.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

— MagTun
nguồn

5

Tôi không hiểu làm thế nào những tuyên bố này có liên quan đến mối tương quan nào cả (và đề cập đến "tính chuyển đổi" dường như hoàn toàn không phù hợp trong bối cảnh này). Kết luận, sau tất cả, phải làm với một sự khác biệt có nghĩa. Thống kê đó (là khoảnh khắc đầu tiên) hoàn toàn độc lập với tương quan (bắt nguồn từ khoảnh khắc thứ hai). Ngay cả khi mối tương quan là hoàn hảo người ta không thể đưa ra bất kỳ kết luận nào về sự khác biệt của phương tiện của biến thứ hai dựa trên sự khác biệt về phương tiện của biến thứ nhất.

\pm 1

$\pm 1$

— whuber

5

Người ta có thể chỉ ra (Langford, Schwertman và Owens (2001)) rằng tương quan dương là có tính bắc cầu nếu tổng các tương quan bình phương lớn hơn 1:

ρ_{X Y}^{2} + ρ_{Y X}^{2} > 1 ⟹ ρ_{X Z} > 0

$\rho_{XY}^2+\rho_{YX}^2 >1 \implies \rho_{XZ}>0$

— Đóng ToC

2

@whuber: Có, nhưng đây không phải là câu hỏi về mối quan hệ giữa phương tiện X và Y (kích thước não và IQ), đó là câu hỏi về mối quan hệ giữa phương tiện của Y trong hai cụm khác nhau ... Tôi nghĩ đó là điều hiển nhiên rằng nếu mối tương quan giữa kích thước não và IQ là hoàn hảo (nghĩa là IQ là một hàm tuyến tính của kích thước não) và nếu kích thước não khác nhau giữa nam và nữ, thì có nghĩa là IQ khác nhau giữa nam và nữ.

— amip nói rằng Phục hồi Monica

2

@Amoeba Cảm ơn bạn đã giải thích. Các trích dẫn bắt đầu có ý nghĩa (cuối cùng!). Nhưng để đề cập đến điều này như là "tính tương quan" thì tối nghĩa đến mức bị đánh lừa một cách thẳng thắn. (Cụm từ này có trong tiếng Pháp gốc, vì vậy chúng tôi thậm chí không thể đổ lỗi cho bản dịch.)

— whuber

3

@amoeba Điều đó hợp lý. Nhưng tôi nghĩ rằng bạn phải kéo dài mọi thứ một chút để đến đó! Báo giá không mô tả mối quan hệ giữa giới tính và kích thước não là "mối tương quan" - chỉ là sự khác biệt về phương tiện giữa hai nhóm ( không phải là thước đo tương quan chuẩn, tình cờ). Nhưng tôi đoán chúng ta phải hiểu "tương quan" theo nghĩa rộng là "thiếu phụ thuộc" hoặc đại loại như thế.

— whuber

16

Vâng, nó vẫn sẽ là một ngụy biện.

Đây là một con số rất đơn giản cho thấy bốn tình huống khác nhau. Trong mỗi trường hợp, các chấm đỏ đại diện cho phụ nữ, chấm xanh đại diện cho nam giới, trục ngang đại diện cho kích thước não và trục dọc đại diện cho IQ. Tôi đã tạo tất cả bốn bộ dữ liệu sao cho:

luôn có sự khác biệt giống nhau về kích thước não trung bình giữa nam ( ) và nữ ( - đơn vị là tùy ý). Đây là các phương tiện dân số, nhưng sự khác biệt này đủ lớn để có ý nghĩa thống kê với bất kỳ cỡ mẫu hợp lý nào; $22$ $28$
luôn có sự khác biệt về chỉ số IQ trung bình giữa nam và nữ (cả ) và cũng không có mối tương quan nào giữa giới và IQ; $100$
sức mạnh của mối tương quan giữa kích thước não và IQ thay đổi như thể hiện trên hình.

tương quan

Trong phân nhóm phụ bên trái trong tương quan giới tính (tính riêng trên nam và riêng so với nữ, sau đó tính trung bình) là , như trong trích dẫn của bạn. Trong phần tương quan tổng thể của phần trên bên phải (trên nam và nữ với nhau) là . Lưu ý rằng trích dẫn của bạn không chỉ định số lượng đề cập đến. Trong phân nhóm phụ bên trái thấp hơn trong tương quan giới tính là , như trong ví dụ giả thuyết của bạn; trong tương quan tổng thể của phần dưới bên phải là . $0.3$ $0.3$ $0.33$ $0.9$ $0.9$

Vì vậy, bạn có thể có bất kỳ giá trị tương quan nào và không thành vấn đề nếu nó được tính toán tổng thể hoặc trong nhóm. Dù hệ số tương quan là gì, rất có thể là không có mối tương quan nào giữa giới tính và IQ và chênh lệch giới tính bằng 0 trong IQ trung bình.

Khám phá tính không chuyển đổi

Hãy cùng chúng tôi khám phá không gian đầy đủ của các khả năng, theo cách tiếp cận được đề xuất bởi @kjetil. Giả sử bạn có ba biến và (không mất tính tổng quát) giả sử rằng tương quan giữa và là và tương quan giữa và là . Câu hỏi là: giá trị dương tối thiểu có thể có của mối tương quan giữa và $x_1, x_2, x_3$ $x_1$ $x_2$ $a>0$ $x_2$ $x_3$ $b>0$ $\lambda$ $x_1$ $x_3$ ? Có đôi khi nó phải tích cực, hoặc nó luôn luôn có thể bằng không?

Ma trận tương quan là và nó phải có một yếu tố quyết định không âm, tức là nghĩa là phải nằm giữa

R = (\begin{matrix} 1 & a & λ \\ a & 1 & b \\ λ & b & 1 \end{matrix})

$\mathbf R = \left( \begin{array}{} 1&a&\lambda \\ a&1&b \\ \lambda &b&1 \end{array}\right)$

d e t R = - λ^{2} + 2 a b λ - (a^{2} + b^{2} - 1) \geq 0,

$\mathrm{det} \mathbf R = -\lambda^2 + 2ab\lambda - ( a^2+b^2-1) \ge 0,$

λ

$\lambda$

Nếu cả hai rễ là tích cực, thì giá trị tối thiểu có thể có của

bằng vào thư mục gốc nhỏ hơn (và

phải là số dương!). Nếu không là giữa hai rễ này, sau đó

có thể không.

a b \pm \sqrt{(1 - a^{2}) (1 - b^{2})} .

$ab \pm \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}.$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

Chúng ta có thể giải quyết số này và vẽ giá trị dương tối thiểu có thể có của cho các và khác nhau : $\lambda$ $a$ $b$

Khám phá tính không chuyển đổi

Không chính thức, chúng ta có thể nói rằng mối tương quan sẽ được bắc cầu nếu cho rằng và , ta có thể kết luận rằng . Chúng ta thấy rằng đối với hầu hết các giá trị và , có thể không, có nghĩa là tương quan đều là phòng không bắc cầu. Tuy nhiên, đối với một số giá trị đủ cao của và , tương quan phải có giá trị dương , nghĩa là có "một mức độ nào đó", nhưng chỉ giới hạn ở mức tương quan rất cao. Lưu ý rằng cả hai tương quan và $a>0$ $b>0$ $\lambda>0$ $a$ $b$ $\lambda$ $a$ $b$ $\lambda$ $a$ $b$ phải cao

Chúng ta có thể tìm ra một điều kiện chính xác cho điều này "transitivity": như đã đề cập ở trên, gốc nhỏ hơn nên tích cực, tức là , tương đương với. Đây là một phương trình của một vòng tròn! Và thực sự, nếu bạn nhìn vào hình trên, bạn sẽ thấy rằng vùng màu xanh tạo thành một phần tư của một vòng tròn. $ab - \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}>0$ $a^2+b^2>1$

Trong ví dụ cụ thể của bạn, mối tương quan giữa giới tính và kích thước não khá vừa phải (có thể là ) và tương quan giữa kích thước não và IQ là , nằm trong vùng màu xanh lam ( ) có nghĩa là thể là tích cực, tiêu cực, hoặc không có. $a=0.5$ $b=0.33$ $a^2+b^2<1$ $\lambda$

Con số liên quan từ nghiên cứu ban đầu

Bạn muốn tránh thảo luận về giới tính và bộ não, nhưng tôi không thể chỉ ra rằng nhìn vào con số đầy đủ từ bài viết gốc ( Gur et al. 1999 ), người ta có thể thấy rằng trong khi không có sự khác biệt về giới tính trong điểm số IQ bằng lời nói, thì có một sự khác biệt rõ ràng và đáng kể về điểm số IQ không gian! So sánh các ô con D và F.

Gur et al.

— amip nói phục hồi Monica
nguồn

2

Tôi yêu những mảnh đất bạn tạo ra. Những cái từ tờ giấy, không nhiều lắm ...

— Shadowtalker

1

@AleksandrBlekh: Nói thật, tôi không chắc. "Bản đồ nhiệt"? "Đường viền" nhưng có màu và không có đường viền?

— amip nói rằng Phục hồi lại

2

| λ |

$|\lambda|$

λ

$\lambda$

1

x

$x$

y

$y$

y

$y$

z

$z$

x

$x$

z

$z$

a

$a$

b

$b$

\geq 0

$\ge 0$

λ \geq 0

$\lambda \ge 0$

1

Cảm ơn amip vì câu trả lời dài và bừa bãi này (và thậm chí còn được thêm vào như vậy, rất hoan nghênh bằng cách này)! Nó làm cho mọi thứ rõ ràng! Khái niệm này rất khó để cân nhắc cho bộ não chưa được thống kê của tôi và bạn đã làm sáng tỏ vấn đề! Cảm ơn rất nhiều vì thời gian bạn dành để gửi câu trả lời của bạn!

— MagTun

8

$x_1=\text{IQ}, x_2=\text{gender}$ $x_3$

cor (x_{1}, x_{2}) = λ, cor (x_{1}, x_{3}) = cor (x_{2}, x_{3}) = ρ = 0.9

$\text{cor}(x_1, x_2)=\lambda, \\ \text{cor}(x_1,x_3)=\text{cor}(x_2, x_3)=\rho=0.9$

λ

$\lambda$

R = (\begin{matrix} 1 & λ & ρ \\ λ & 1 & ρ \\ ρ & ρ & 1 \end{matrix})

$R=\begin{pmatrix} 1 & \lambda & \rho \\ \lambda & 1 & \rho \\ \rho & \rho & 1 \end{pmatrix}$

ρ

$\rho$

det R = 1 \cdot (1 - ρ^{2}) - λ \cdot (λ - ρ^{2}) + ρ \cdot (λ ρ - ρ) = 1 - λ^{2} - 2 ρ^{2} + 2 λ ρ^{2} \geq 0,

$\det R = 1\cdot (1-\rho^2) - \lambda \cdot (\lambda-\rho^2) + \rho \cdot (\lambda \rho - \rho) \\ = 1-\lambda^2 -2\rho^2 + 2\lambda \rho^2 \ge 0,$

ρ^{2} \leq \frac{λ + 1}{2}

$\rho^2 \le \frac{\lambda+1}{2}$

ρ = 0.9

$\rho=0.9$

λ \geq 0.62

$\lambda \ge 0.62$

Cập nhật:

$p=0.5$ $\mu_1 = \text{E}(x_1 | x_2=1)$ $\mu_0 = \text{E}(x_1 | x_2=0)$ Này có nghĩa là kể từ . Chúng tôi có $\mu=\text{E}(x_1)$ $\mu=0=\mu_1+\mu_0$ $\mu_0 = -\mu_1$ $x_1 \sim \text{N}(\mu=0, \sigma^2)$ $x_2$ $p=1/2$

corr (x_{1}, x_{2}) = \frac{E (x_{1} - μ) E (x_{2} - p)}{σ \cdot \frac{1}{2}} = \frac{Δ}{2 σ}

$\text{corr}(x_1, x_2) = \frac{\text{E}(x_1-\mu)\text{E}(x_2-p)}{\sigma \cdot \frac12} \\ = \frac{\Delta}{2\sigma}$

Δ = μ_{1} - μ_{0} = 2 μ_{1}

$\Delta = \mu_1 - \mu_0 = 2\mu_1$

σ = 10

$\sigma=10$

Δ / 20

$\Delta/20$ thông tin về sự khác biệt có nghĩa là IQ là sai! Điều đó sẽ đúng nếu giới tính là một biến liên tục, mà rõ ràng là không phải vậy. Lưu ý rằng thực tế này có liên quan đến thực tế là đối với phân phối nhị thức, phương sai là một hàm của giá trị trung bình (vì nó phải như vậy, vì chỉ có một tham số miễn phí để thay đổi). Những gì chúng tôi đã làm ở trên là thực sự mở rộng điều này đến hiệp phương sai / tương quan.

$\rho=0.33$ $\lambda \ge -0.7822$ $\lambda=0$

— kjetil b halvorsen
nguồn

1

Và làm thế nào

c o r (x_{1}, x_{2}) \geq 0.62

$\mathrm{cor}(x_1, x_2)\ge 0.62$

E (x_{1}) \geq E (x_{2})

$E(x_1)\geq E(x_2)$

5

+1 - Nhưng tôi thấy khái niệm về mối tương quan giữa IQ của nam và nữ là hơi khó hiểu, vì bạn không bao giờ có thể tính được giá trị như vậy.

— Andy W

1

Mối tương quan giữa chỉ số IQ của nam giới và nữ giới có nghĩa là gì?!

— amip nói phục hồi Monica

vâng, đúng vậy @amoeba! Tôi có thể không sử dụng các từ chính xác để diễn tả sự nhầm lẫn của mình (thật khó vì tôi không quen sử dụng thống kê) nhưng biến số thực sự là giới tính, IQ và kích thước não.

— MagTun

7

Đây là một tình huống mà tôi thích sử dụng biểu đồ đường dẫn để minh họa các hiệu ứng trực tiếp và tác động gián tiếp , và cách hai yếu tố này tác động đến các mối tương quan tổng thể.

Theo mô tả ban đầu, chúng tôi có một ma trận tương quan dưới đây. Kích thước não có khoảng 0,3 tương quan với IQ, nữ và IQ có tương quan 0 với nhau. Tôi điền vào các mối tương quan nghịch giữa kích thước nữ và não là -0.3 (nếu tôi đã phải đoán nó là nhiều nhỏ hơn, nhưng điều này sẽ phục vụ cho mục đích minh hoạ).

       Brain  Female  IQ
 Brain   1
Female  -0.3    1
    IQ   0.3    0      1

Nếu chúng ta phù hợp với mô hình hồi quy trong đó IQ là một hàm của kích thước não và là nữ, chúng ta có thể minh họa điều này theo sơ đồ đường dẫn. Tôi đã điền vào các hệ số hồi quy từng phần trên các mũi tên và nút B là viết tắt của kích thước não và nút F là viết tắt của nữ.

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Bây giờ thật điên rồ - khi kiểm soát kích thước não, với những tương quan này, phụ nữ có mối quan hệ tích cực với IQ. Tại sao điều này, khi tương quan biên bằng không? Theo các quy tắc với sơ đồ đường dẫn tuyến tính ( Wright, 1934 ), chúng ta có thể phân tách mối tương quan biên dưới dạng hàm của hiệu ứng trực tiếp khi kiểm soát kích thước não và hiệu ứng gián tiếp:

{Total}_{F, IQ} = {Direct}_{F, IQ} + {Indirect}_{F, B, IQ}

$\text{Total}_{\text{F},\text{IQ}} = \text{Direct}_{\text{F},\text{IQ}} + \text{Indirect}_{\text{F},\text{B},\text{IQ}}$

$\text{Total}_{\text{F},\text{IQ}} = \text{Cor}(\text{F},\text{IQ})$

\begin{aligned} {Indirect}_{F, B, IQ} & = Cor (F, B) \cdot Cor (B, IQ | F) \\ - 0.099 & = - 0.3 \cdot 0.33 \end{aligned}

$\begin{align} \text{Indirect}_{\text{F},\text{B},\text{IQ}} &= \text{Cor}(\text{F},\text{B}) \cdot \text{Cor}(\text{B},\text{IQ}|\text{F}) \\ -0.099 &= -0.3 \cdot 0.33 \end{align}$

Bởi vì tổng hiệu ứng bằng không, chúng tôi biết rằng hiệu ứng trực tiếp chỉ đơn giản là dấu hiệu và kích thước ngược lại chính xác của hiệu ứng gián tiếp , do đó hiệu ứng trực tiếp bằng 0,099 trong ví dụ này. Bây giờ, ở đây chúng ta có một tình huống khi đánh giá chỉ số IQ dự kiến của nữ giới, chúng ta nhận được hai câu trả lời khác nhau, mặc dù có lẽ không phải là những gì bạn mong đợi ban đầu khi chỉ định câu hỏi. Khi chỉ đơn giản là đánh giá chỉ số IQ dự kiến cận biên của nữ so với nam, sự khác biệt bằng không như bạn đã xác định (bằng cách có mối tương quan bằng 0). Khi đánh giá sự khác biệt dự kiến có điều kiện về kích thước não, nữ có IQ cao hơn nam.

Bạn có thể chèn vào ví dụ này hoặc tương quan lớn hơn giữa kích thước não và IQ (hoặc tương quan nhỏ hơn giữa kích thước não và kích thước não), với các giới hạn mà kjetil thể hiện trong câu trả lời của anh ấy. Sự gia tăng trước đây làm cho sự chênh lệch giữa chỉ số IQ có điều kiện của phụ nữ và nam giới thậm chí còn có lợi hơn cho phụ nữ, giảm sau đó làm cho sự khác biệt nhỏ hơn.

— Andy W
nguồn

Nếu bạn nhìn vào bức tranh được cung cấp, nó cho thấy mối tương quan tích cực (và mạnh hơn nam giới) về khối lượng não của phụ nữ với IQ.

— Alecos Papadopoulos

1

@Andy W Tôi hoàn toàn xấu hổ khi hỏi câu hỏi ngớ ngẩn này, nhưng bạn đã sử dụng phần mềm nào để vẽ biểu đồ nút?

— Mugen

1

Đó là một công việc nhanh chóng trong inkscape @mugen. Mất nhiều thời gian hơn, tôi nghĩ những cái tôi tạo ra bằng latex và Tikz đẹp hơn.

— Andy W

+1 Bạn có thể chỉ cho tôi lý thuyết đằng sau công thức thứ hai của bạn không?

— Alexanderr Blekh 7/1/2015

2

@AleksandrBlekh - bài báo của Wright mà tôi trích dẫn là nguồn gốc. Judea Pearl đi sâu vào bình luận sâu rộng hơn trong cuốn sách Nhân quả của mình , mặc dù có những cách điều trị đơn giản hơn. (Đối với các mô hình tuyến tính, các phép phân tách thường được xử lý bằng chữ thảo trong sách mô hình phương trình cấu trúc.)

— Andy W

3

$v$ $q$ $1$ $2$

\begin{matrix} (1) & E (v_{1}) > E (v_{2}) = = β E (v_{1}), 0 < β < 1, ρ (v_{1}, q_{1}) > 0, ρ (v_{2}, q_{2}) > 0 \end{matrix}

$E(v_1) > E(v_2) = \beta E(v_1), 0< \beta <1, \;\; \rho(v_1,q_1) >0, \;\; \rho(v_2,q_2)>0 \tag{1}$

Lưu ý rằng mặc dù văn bản được trích dẫn nói về "mối tương quan giữa khối lượng não và IQ" nói chung, hình ảnh được cung cấp tạo ra sự khác biệt với hai đường xu hướng (nghĩa là nó cho thấy sự tương quan của hai nhóm con riêng biệt). Vì vậy, chúng tôi xem xét chúng một cách riêng biệt (đó là cách chính xác để đi).

Sau đó

ρ (v_{1}, q_{1}) > 0 \Rightarrow C o v (v_{1}, q_{1}) > 0 \Rightarrow E (v_{1} q_{1}) > E (v_{1}) E (q_{1})

$\rho(v_1,q_1) >0 \Rightarrow {\rm Cov}(v_1,q_1)>0 \Rightarrow E(v_1q_1) > E(v_1)E(q_1)$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow \frac{E (v_{1} q_{1})}{E (q_{1})} > E (v_{1}) \end{matrix}

$\Rightarrow \frac {E(v_1q_1)}{E(q_1)} > E(v_1) \tag{2}$

và

ρ (v_{2}, q_{2}) > 0 \Rightarrow C o v (v_{2}, q_{2}) > 0 \Rightarrow E (v_{2} q_{2}) > E (v_{2}) E (q_{2})

$\rho(v_2,q_2) >0 \Rightarrow {\rm Cov}(v_2,q_2)>0 \Rightarrow E(v_2q_2) > E(v_2)E(q_2)$

\begin{matrix} (3) & \Rightarrow \frac{E (v_{2} q_{2})}{β E (q_{2})} > E (v_{1}) \end{matrix}

$\Rightarrow \frac {E(v_2q_2)}{\beta E(q_2)} > E(v_1) \tag{3}$

$E(q_1) > E(q_2)$

$E(q_1) = E(q_2) = \bar q \tag {4}$

Sau đó, nó phải là trường hợp

\begin{matrix} (5) & (2), (4) \Rightarrow \frac{E (v_{1} q_{1})}{\bar{q}} > E (v_{1}) \end{matrix}

$(2),(4) \Rightarrow \frac {E(v_1q_1)}{\bar q} > E(v_1) \tag{5}$

và đó

\begin{matrix} (6) & (3), (4) \Rightarrow \frac{E (v_{2} q_{2})}{β \bar{q}} > E (v_{1}) \end{matrix}

$(3),(4) \Rightarrow \frac {E(v_2q_2)}{\beta \bar q} > E(v_1) \tag{6}$

$(5)$ $(6)$
$(1)$

$(1)$ $E(q_1)$ $E(q_2)$ $(1)$ .

— Alecos Papadopoulos
nguồn

2

Mặc dù tất cả các tính toán được hiển thị ở đây, tôi vẫn không thấy mối tương quan cho thấy bất cứ điều gì (hoặc áp đặt bất kỳ ràng buộc nào) liên quan đến mối quan hệ giữa các giá trị trung bình .

— whuber

@whuber Toàn bộ câu trả lời là cho thấy rằng nó không. Những câu cuối cùng nói chính xác điều đó. Hãy thêm một hiệu ứng nữa.

— Alecos Papadopoulos

Nhưng điều này là hoàn toàn cơ bản: người ta không cần toàn bộ trang phương trình để hiển thị nó! Nó đủ để quan sát rằng các hệ số tương quan là bất biến vị trí, QED . Tôi có hiểu sai câu hỏi không?

— whuber

1

@whuber Với tất cả sự tôn trọng và không có ý xúc phạm đối với bất kỳ ai, nhưng tôi sợ rằng bạn đang "hiểu sai" trình độ kiến thức của OP. Nếu không, câu hỏi sẽ không được đăng.

— Alecos Papadopoulos

4

Sau đó, tôi sẽ khuyến khích bạn suy nghĩ xem liệu bất kỳ câu trả lời nào phụ thuộc nhiều vào phương trình toán học là phù hợp để giải quyết các áp phích dường như đang yêu cầu giải trình cơ bản các khái niệm cơ bản. Đây là một vấn đề tinh tế bởi vì đôi khi đó chính xác là cách tiếp cận đúng. Hơn nữa, mức độ mà một người sử dụng toán học - và cách người ta thể hiện các ý tưởng toán học - có thể là một vấn đề của hương vị. Nhưng IMHO loại trả lời này chỉ có hiệu quả khi toán học rõ ràng và luôn tập trung vào một ý tưởng thiết yếu.

— whuber