Cách tìm

Làm sao tôi có thể giải quyết việc này? Tôi cần phương trình trung gian. Có lẽ câu trả lời là $-tf(x)$ .

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ là hàm mật độ xác suất.

Đó là để nói, $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ và $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

nguồn: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

Thử các phương trình trung gian dưới đây:

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x] = \frac{d}{d t} [{[x F (x)]}_{t}^{\infty} - \int_{t}^{\infty} F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

\frac{d}{d t} \int_{t}^{a} f (x) d x = - \frac{d}{d t} \int_{a}^{t} f (x) d x = - \frac{d}{d t} (F (t) - F (a)) = F^{'} (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Hiroaki Machida
nguồn

Bạn có nghĩa là

\frac{d}{d t} [\int_{t}^{\infty} x f (x) d x]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ ? Có lẽ

- t f (t) .

$-tf(t).$ Hay bạn có nghĩa là

\frac{d}{d t} [\frac{\int_{t}^{\infty} x f (x) d x}{1 - F (t)}]

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Henry

Sử dụng định lý cơ bản của phép tính

— Henry

Hãy xem xét một nguyên thủy

của

, sau đó

là dễ dàng để derivate.

G

$G$

x \mapsto x f (x)

$x \mapsto xf(x)$

\int_{t}^{\infty} x f (x) d x = G (\infty) - G (t)

$\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Stéphane Laurent

Vui lòng thêm self-studythẻ và đọc wiki thẻ của nó .

— Glen_b -Reinstate Monica

Nếu bạn đang học để thi, cung cấp cho bạn giải pháp đầy đủ không phải là việc cần làm. Các câu hỏi tự học nhằm mục đích đưa người đặt câu hỏi vào quản lý để tự giải quyết vấn đề.

— Tây An

Câu trả lời:

Theo định nghĩa, đạo hàm ( nếu nó tồn tại ) là giới hạn của thương số chênh lệch

\frac{1}{h} (\int_{t + h}^{\infty} x f (x) d x - \int_{t}^{\infty} x f (x) d x) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

như . $h\to 0$

Giả sử liên tục trong một khoảng với đủ nhỏ , cũng sẽ liên tục trong suốt khoảng thời gian này. Sau đó, Định lý giá trị trung bình khẳng định có một số trong khoảng từ đến $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$ mà

- (t + h^{*}) f (t + h^{*}) = - \frac{1}{h} \int_{t}^{t + h} x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Khi , nhất thiết phải và tính liên tục của gần sau đó ngụ ý phía bên trái có giới hạn bằng . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(Thật tuyệt khi thấy rằng phân tích này không yêu cầu lý do về sự tồn tại của tích phân không chính xác ban đầu .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

Tuy nhiên, ngay cả khi phân phối có mật độ , mật độ đó không phải liên tục. Tại các điểm không liên tục, thương số chênh lệch sẽ có giới hạn trái và phải khác nhau: đạo hàm không tồn tại ở đó. $f$

Đây không phải là một vấn đề có thể được coi là một "bệnh lý" toán học phức tạp mà các học viên có thể bỏ qua. Các tệp PDF của nhiều bản phân phối phổ biến và hữu ích có điểm không liên tục. Ví dụ: phân phối Đồng phục có PDF không liên tục tại và ; một Gamma phân phối có một PDF không liên tục tại khi (trong đó bao gồm sự phân bố mũ phổ biến và một số phân phối); và như thế. Vì thế, $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ điều quan trọng không phải để khẳng định là, mà không cần trình độ cẩn thận, rằng câu trả lời là chỉ đơn thuần $-t f(t)$ : that would be a mistake.

— whuber
nguồn

A very small addendum: There are cases where the integral is differentiable even when

f (x)

$f(x)$ is not continuous. Let

f (x) = 0

$f(x)=0$ for

x \leq 0

$x\leq 0$ and

f (x) = 1

$f(x)=1$ for

0 < x < 1

$0<x<1$ and

f (x) = 0

$f(x)=0$ for

x \geq 2

$x\geq 2$ . Then near 0,

F (x) = x^{2} / 2

$F(x)=x^2/2$ for

x \geq 0

$x\geq 0$ and 0 for

x < 0

$x<0$ , which is perfectly differentiable at

x = 0

$x=0$ .

— Alex R.

@Alex Near

0^{+}

$0^{+}$ ,

F (x) = x

$F(x)=x$ , not

x^{2} / 2

$x^2/2$ . Consider the Fundamental Theorem of Calculus.

— whuber

Sorry for the confusion! I define

F (x) := \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$ .

— Alex R.

@Alex Your integrand

t f (t)

$tf(t)$ is continuous near zero, so I fail to see what kind of example you are presenting or what it shows.

— whuber

Great derivation (+1) - it might be worth nothing that this result is a case of Leibniz integral rule.

— Reinstate Monica

Solved...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Thank you all!!!

— Hiroaki Machida
nguồn

What is

G (t)

$G(t)$ function? Why the derivative of

G (\infty)

$G(\infty)$ is 0?

— Vladislavs Dovgalecs