Công thức Schuette từ Nesbitt

Tôi đang đọc bài viết về công thức Schuette của Nesbitt , được mô tả là "một khái quát của nguyên tắc loại trừ bao gồm" , có cả phiên bản kết hợp và xác suất. Một trang web khác đã đưa ra bằng chứng cho các sự kiện phụ thuộc (tải xuống pdf) và tìm thấy một phần ba so sánh nó với Định lý Waring (pdf)

Tuy nhiên, tôi vẫn còn bối rối. Tôi đã thử tìm một ví dụ rõ ràng bằng cách sử dụng các xác suất riêng biệt (để đơn giản) rằng các bước rõ ràng từ dòng này sang dòng tiếp theo - để giúp hiểu tổng thể về công thức.

Có một tài liệu tham khảo tốt, hoặc một câu trả lời có thể đưa ra một ví dụ ngắn gọn?

probability combinatorics

— sheppa28
nguồn

Tôi đã tìm thấy một ví dụ trong cuốn sách sau đây và câu trả lời của tôi là phiên bản sửa đổi của Sec 8.4.8.6 của cuốn sách để làm cho nó ngắn gọn và rõ ràng.

Gerber, Hans U. "Bảo hiểm nhân thọ." Toán bảo hiểm nhân thọ. Mùa xuân Berlin Heidelberg, 1990.

là những sự kiện tùy ý. là một biến ngẫu nhiên nằm trong khoảng . Đối với hệ số thực tùy ý , công thức Schuette-Nesbitt là bản sắc điều hành sau đây giữa chuyển hành và khai thác chênh lệch $B_1,\cdots B_n$ $N$ $\{0, 1, ... , m\}$ $c_1,\cdots c_m$ $E:c_n\mapsto c_{n+1}$ . Theo định nghĩa họ có liên quan qua, công thức SN là nơi $\Delta:c_n\mapsto c_{n+1}-c_{n}$ $E=id+\Delta$

\sum_{n = 0}^{m} c_{n} \cdot P r (N = n) = \sum_{k = 0}^{m} [Δ^{k} c_{0}] S_{k}

$\sum_{n=0}^{m}c_n\cdot Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$

là tổng đối xứng giữa các

các sự kiện và

. Lưu ý rằng

điều hành phương tiện khác biệt tác động lên

. Ví dụ,

S_{k} = \sum_{j_{1}, \dots j_{k}} P r (B_{j 1} \cap \dots \cap B_{j k})

$S_k=\sum_{j_1,\cdots j_k}Pr(B_{j1}\cap\cdots \cap B_{jk})$

n

$n$

S_{0} = 1

$S_0=1$

[Δ^{k} c_{0}]

$[\Delta^{k}c_0]$

c_{0}

$c_0$

. Cả hai nhà khai thác là tuyến tính và vì thế họ có cơ quan đại diện về ma trận, do đó chúng có thể được kéo dài đến vòng đa thức và mô-đun (kể từ khi hai đối tượng này có "cơ sở", lỏng lẻo nói.)

[Δ^{2} c_{0}] = Δ^{1} (c_{1} - c_{0}) = Δ^{1} (c_{1}) - Δ^{1} (c_{0}) = (c_{2} - c_{1}) - (c_{1} - c_{0}) = c_{2} - 2 c_{1} + c_{0}

$[\Delta^{2}c_0]=\Delta^{1}(c_1-c_0)=\Delta^{1}(c_1)-\Delta^{1}(c_0)=(c_2-c_1)-(c_1-c_0)=c_2-2c_1+c_0$

E = (\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \dots \\ 1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & 1 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & 1 & \dots \end{array})

$E=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$

Δ = (\begin{array}{ccccc} - 1 & 0 & 0 & \dots \\ 1 & - 1 & 0 & \dots \\ 0 & 1 & - 1 & \dots \\ 0 & 0 & 1 & \dots \end{array})

$\Delta=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & -1 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & -1 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$

$\prod_{j=1}^{m}(1+I_{B_j}\Delta)$ $I_A\cdot I_B=I_{A\cap B}$ $\Delta$

$c_0=1$ $c_1=c_2=\cdots=c_n=1$

\sum_{n = 1}^{m} P r (N = n) = \sum_{k = 0}^{m} Δ^{k} c_{0} S_{k} = c_{0} S_{0} + (c_{1} - c_{0}) S_{1} + (c_{2} - 2 c_{1} + c_{0}) S_{2} + \dots = S_{1} - S_{2} + S_{3} + \dots + (- 1)^{n} S_{n} = [P r (B_{1}) + \dots + P r (B_{n})] - [P r (B_{1} \cap B_{2}) + \dots + P r (B_{n - 1} \cap B_{n})] + \dots + (- 1)^{n} \cdot P r (S_{1} \cap \dots \cap S_{n})

$\sum_{n=1}^{m} Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}\Delta^{k}c_0S_k=c_0 S_0+(c_1-c_0)S_1+(c_2-2c_1+c_0)S_2+\cdots =S_1-S_2+S_3+\cdots+(-1)^{n}S_n=[Pr(B_1)+\cdots+Pr(B_n)]-[Pr(B_1\cap B_2)+\cdots+Pr(B_{n-1}\cap B_{n})]+\cdots+(-1)^n\cdot Pr(S_1\cap\cdots \cap S_n)$

$r$ $n$ $B_1,\cdots B_n$ $c_r=1$ $c$

P r (N = r) = \sum_{k = 0}^{m} [Δ^{k} c_{0}] S_{k} = \sum_{k = r}^{m} [Δ^{k} c_{0}] S_{k}

$Pr(N=r)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k=\sum_{k=r}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$

[Δ^{k} c_{0}] = 0

$[\Delta^{k}c_0]=0$

k < r

$k<r$

t = k - r

$t=k-r$

Có một ví dụ về phong bì trong cuốn sách của Gerber bạn có thể xem qua, nhưng gợi ý của tôi là hiểu nó theo đại số toán tử thay vì xác suất.

— Henry.
nguồn